Экзаменационные вопросы за 2 семестр
.docЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
по курсу «Высшая математика»
для групп В2 – 11, 12п, 12э.
2007 – 2008 уч.год.
-
Первообразная и неопределенный интеграл. Определения и свойства. Таблица основных интегралов.
-
Основные методы интегрирования (заменой переменной и по частям).
-
Комплексные числа. Основные операции над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Формула Эйлера. Формула Муавра возведения комплексного числа в натуральную степень. Извлечение корня из комплексного числа.
-
Интегрирование рациональных функций.
-
Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.
-
Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Верхние и нижние интегральные суммы, их свойства.
-
Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
-
Ограниченность интегрируемой функции
-
Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.
-
Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Формула среднего значения для определенного интеграла.
-
Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
-
Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
-
Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
-
Применение определенного интеграла. Понятие спрямляемой кривой и ее длины. Вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла (в том числе кривой, заданной параметрически, в декартовых и полярных координатах).
-
Понятие квадрируемой плоской фигуры и определение ее площади. Вычисление площади криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
-
Понятие кубируемого тела и его объема. Вычисление объемов некоторых тел, в том числе тел вращения. Вычисление площадей их поверхностей.
-
Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
-
Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
-
Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
-
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
-
Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
-
Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса.
-
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).
-
Степенной ряд. Теорема Абеля.
-
Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
-
Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора ex, sin x, cos x, (1+x)α, ln(1+x).
-
Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидова пространства. Множества точек евклидова пространства. Окрестность точки. Последовательность точек. Предел последовательности точек. Определение функции нескольких переменных.
-
Определение предела функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
-
Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
-
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши. Интегральная кривая. Уравнения с разделяющимися переменными.
-
Понятие квадратур обыкновенного дифференциального уравнения. Общий интеграл уравнения. Общее решение. Интегрирование однородного уравнения первого порядка.
-
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Нахождение его решения. Метод вариации постоянной.
-
Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.
-
Интегрирующий множитель. Доказательство его существования. Общий вид интегрирующего множителя. Примеры нахождения интегрирующего множителя.
-
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
-
Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
-
Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение общего решения в случае n различных действительных корней, в случае кратного корня и в случае комплексных корней.
-
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нахождение общего и частного решения.
Лектор Михайлов В.Д.