- •Числовые ряды. Определение сходящегося числового ряда. Геометрический ряд.
- •Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
- •Теоремы сравнения (признаки сравнения).
- •Признаки сходимости Даламбера и Коши.
- •Интегральный признак сходимости. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
- •Знакопеременные числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда xn.
- •Равномерно сходящиеся последовательности и ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через коэффициенты ряда. Как найти интервал сходимости степенного ряда?
- •Свойства степенных рядов.
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •Разложение функций ex, sinx, cosx в ряд Тейлора.
- •Событие. Несовместные, равносильные, достоверные, невозможные, равновозможные и единственно возможные, противоположные события. Полная группа событий.
- •Классическое и статистическое определение вероятности.
- •Размещения, сочетания, перестановки.
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Теорема Пуассона. Условие применимости формулы Пуассона для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Условие их применимости для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины, ряд распределения. Независимость случайных величин.
- •Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
- •Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.
- •Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
ВОПРОСЫ (к зачету за 3-й сем) ПО КУРСУ
“ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ”
Лектор С.Н. Чириков. Группы Д3-013,130
-
Числовые ряды. Определение сходящегося числового ряда. Геометрический ряд.
Числовой ряд – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {Un} называется числовым рядом: u1 + u2+ u3 + … + un+ … =
Частичные суммы ряда - Sn, они образуют последовательность {Sn} -последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда un –общий член ряда.
S1=u1
S2=u1+u2
Sn=u1+u2+…+un+…
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм (сумма ряда)=
Если предел не существует или бесконечен, то последовательность называется расходящейся.
Геометрический ряд – это сумма всех членов геометрической последовательности с первым членом a и знаменателем q
a0+a0q+a0q2+…+a0qn-1+…
Sn= , при q≠1
-
Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
-
Если ряд сходится и его сумма S, то ряд тоже сходится и его сумма S.
-
Если ряды и - сходятся, и их суммы S1 и S2, то ряд и его сумма равна S1±S2
-
Добавлении (или отбрасывании) конечного числа членов не влияет на сходимость.
Пусть и , тогда начиная с нечетного номера N>ip
Необходимый признак ходимости ряда.
Если ряд сходиться, то .
Следствие: Если , то ряд расходится.
Замечание: Этот признак необходимый, но не достаточный.
-
Теоремы сравнения (признаки сравнения).
1-ый признак сравнения.
Пусть даны и и для любого n Un≤Vn, если ряд сходится, то и ряд сходится, если расходится, то и расходится. (данная теорема справедлива, если неравенство выполнимо не для всех n, а начиная с некоторого)
2-ой признак сравнения.
Если для рядов и существует предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо расходятся.
- неизвестный ряд.
- ряд сравнения, чаще всего используются:
-
- геометрический ряд:
-
f
-
Признаки сходимости Даламбера и Коши.
Признак Д'Аламбера.
Если для ряда существует конечный предел отношений
Признак Коши.
Если для ряда существует конечный предел отношений
-
Интегральный признак сходимости. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
Если f(x) при х ≥1 непрерывна, положительна, монотонно убывает и для всех хεnεN, f(n)=Un, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом . Теорема справедлива в том случае, если f(x) непрерывна, неотрицательна и монотонно возрастает при х≥а (а>1), то ряд будет сходиться или расходиться одновременно с .
-
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- произвольные знаки.
- абсолютно сходится, если сходится ряд составленный из модулей его членов
– условно сходится , если - сходится, а ряд из модулей - расходится.
Ряд вида , где все Un≥0 называется знакочередующимся.
Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3>…>Un… и , то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена S≤U1
-
Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда xn.
Функциональной последовательностью называется бесконечное, занумерованное множество функций
Функция F(x) называется пределом функциональной последовательности на Х, если равенство F(x)= выполняется в каждой точке Х или, если для любых хεХ и всех Ε>0 существует N(E;x) при n>N |fn(x)-F(x)|<E.
Ряд вида (), где fn(x) – члены функциональной последовательности, называется функциональным рядом.
При каждом фиксированном значении х=х0 этот функциональный ряд представляет собой обычный числовой ряд.
Если этот числовой ряд сходиться, то значение х0 – называют точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости ряда.
Энной частичной суммой функционального ряда называется функция вида: Sn(x)=f1(x)+f2(x)+..+ fn(x).
Суммой функционального ряда называется функция S(x)=, при условии, что этот придел существует в каждой точке Х (области сходимости функционального ряда). А сам ряд называется сходящимся на Х. Область сходимости функционального ряда может быть найдена с помощью признака Д'Аламбера или Коши.