1. Первообразная, неопределенный интеграл. Правила интегрирования, Таблица интегралов. Интегрирование подведением под знак дифференциала и замена переменной. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях.

Определение первообразной и её свойства. Пусть функция задана на некотором интервале. Если найдётся такая функция, что при всехимеет место равенство, то функция называетсяпервообразной для функции .Пример 1.1   Рассмотрим функцию на всей числовой оси-- на интервале. Тогда функция-- это первообразная дляна. Для доказательства найдём производную от:.Поскольку равенство верно при всех , то-- первообразная дляна.     Аналогичное определение дадим и для случая, когда функциязадана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:. Назовём функциюпервообразной для , если при всехвыполнено равенство

Теорема 1.1   Пусть -- некоторая первообразная дляна интервалеи-- произвольная постоянная. Тогда функциятакже является первообразной дляна. Доказательство.     Покажем, что производная от даёт:при всех. Таким образом,-- первообразная для. Итак, если-- первообразная дляна, то множество всех первообразных для, во всяком случае, содержит все функции вида. Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функцииотличаются отлишь постоянным наслагаемым.

Теорема 1.2   Пусть -- первообразная длянаи-- некоторая другая первообразная. Тогда при некоторой постоянной . Доказательство.     Рассмотрим разность . Посколькуи, то. Покажем, что функция, такая чтопри всех, -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точкии, принадлежащие, и к отрезку междуи(пусть это) применимформулу конечных приращений , где. (Напомним, что эта формула -- следствие изтеоремы Лагранжа). Поскольку во всех точках, в том числе и, то. Следовательно, в произвольной точкефункцияпринимает то же значение, что в точке, то есть. Для первообразнойэто означает, чтопри любом, то естьчто и требовалось доказать.

Определение 1.1   Пусть -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных дляназываетсянеопределённым интегралом от и обозначается.

Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называетсяинтегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию.

Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят,под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции состоит из функций вида, где-- какая-либо фиксированная первообразная для, а-- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция. Поэтому можно написать такую формулу:Итак, для того чтобы доказать равенство, достаточно проверить, что-- первообразная для, то есть что. Поэтому таблица неопределённых интегралов для многих часто встречающихся функций сразу следует из таблицы производных.

1) Поскольку , то прии, если взять. Поэтому приВ частности, получаем при(заметим, что):при(тогда):при:

при (тогда):при(тогда):при(тогда):

2) Пусть . Тогдане задаётся формулой предыдущего пункта. Однако, согласно таблице производных, примы имеем, следовательно,-- первообразная дляна интервале. Проверим, что прифункция-- первообразная дляна интервале. Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаемИтак, на объединении интервалов) функцияслужит первообразной для, то есть

3) Поскольку, согласно таблице производных, при тоВ частности, приполучаем:

4) Поскольку , получаем

5) Поскольку , получаем6) Так как, то

7) Аналогично, поскольку , получаем

8) Табличная формула означает, что-- первообразная дляна интервале. Значит,мы можем также написать:

Докажем обобщение полученной формулы: если , то на интервалеимеемДля доказательства достаточно показать, что производная правой части равна подынтегральной функции:

Разумеется, верна и формула

9) Из табличной формулы (при) получаем, чтоПосколькупри любом, то функциятак же, как и, служит первообразной для. Значит, мы можем также написать

. Докажем также следующее обобщение полученной формулы: если , тоДля доказательства найдём производную правой части:

Получили подынтегральную функцию, что и доказывает формулу. Ясно, что имеет место также формула

10) Докажем формулу

(1.1)

где -- произвольное постоянное число. (Заметим, что приформула имеет смысл для всех, а при-- для, так что во втором случае величина-- кусочно постоянная.) Для доказательства надо рассмотреть два случая:(привозможен только этот случай; это неравенство имеет место также прии) и(прии; поскольку, случай равенства нулю невозможен). В первом случае имеем:

Поскольку получили подынтегральную функцию, формула в этом случае доказана. Второй случай, когда рассматривается аналогично. Заметим, что функцию в правой части формулы (1.1) часто называют «длинным логарифмом», в отличие от правой части формулы следующего пункта, тоже содержащей логарифм.

11) Пусть и, то есть. Тогда

(1.2)

Рассмотрим два случая: (это неравенство выполняется при) и(это неравенство выполняется при). В первом случае имеем

Получили подынтегральную функцию, так что формула (1.2) в этом случае доказана. Случай рассматривается аналогично.

Функцию, стоящую в правой части формулы (1.2), часто называют “высоким логарифмом".

12) Докажем формулу

Подсчитаем производную правой части в случае, когда . Получаем:

Случай разбирается аналогично.

Простейшие правила интегрирования.

1. ();

2.;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то. (Док-во: если, то).

4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то. (Док-во: если, то)

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то.

5. Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда. Здесьt(x) - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что. Заменим независимую переменнуюt на функцию t = t(x): . Следовательно, функцияF(t(x)) является первообразной для произведения , или. При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, иf(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителяпод знак дифференциала:, и задача сводится к вычислению интеграла.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку)t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате(возвращаемся к исходной переменной).

. Второй интеграл элементарно сводится к первому:

Неберущиеся интегралы.

Неберущимся является интеграл Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили, выделяется из всего набора первообразных условием. Функцияназываетсяфункцией Лапласа.    

Не берётся также интеграл . Доопределим подынтегральную функцию, полагая её равной 1 при. В соответствии с тем, что, доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразныхвыделим ту, для которой. Эта неэлементарная функция называетсяинтегральным синусом и обозначается . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.

Ещё один неберущийся интеграл: .

Одна из первообразных  - та, что мы использовали в правой части и обозначили -- называетсяинтегральным косинусом.

Тоже неберущийся интеграл:. Одна из первообразных, которую мы обозначили, -- специальная функция, называющаясяинтегральной экспонентой.     

Не берётся интеграл (приодна из первообразных,, называетсяинтегральным логарифмом).

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.

Не берутся также интегралы

2. Интегрирование подведением под знак дифференциала (см. Выше) и по частям. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях. (см. Выше)

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом):. Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙dx , du = u’∙dx): .

Примеры: .. Интегралы вида,,, гдеP_n(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем,, и. В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. Послеn-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.

Интегралы , где- трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную(ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = P_n(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала неf(x), а её производная. Пример: Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла.

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры: . Представим подынтегральную функцию в виде; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметраn на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

Теперь, зная ,, мы можем выписать 3. Алгебра многочленов. Теоремы Безу и Гаусса. Представление правильной алгебраической дроби в виде суммы элементарных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

Многочленом степени от переменнойназывается алгебраическое выражение вида, где- некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем. Например,- многочлен нулевой степени, а- многочлен первой степени от переменной.     На множестве многочленов можно очевидным способом определить операции сложения, вычитания и умножения. Например, суммой многочленовиявляется многочлен, а произведением многочленови- многочлен. Однако не каждый многочлен можно разделить на другой нацело, то есть для данных многочленовине всегда можно найти такой многочлен, что. К примеру, невозможно разделить нацело многочленна многочлен. Но, как и для целых чисел, можно сказать, что поскольку, то (неполным) частным от делениянаявляется многочлен, а остатком - многочлен. Итак, введем строгое определение. Разделить многочленна многочленс остатком означает найти два таких многочленаи, что, причем степень многочленадолжна быть меньше степени многочлена. Последнее условие аналогично требованию, чтобы остаток от деления на число не превосходил самого этого числа. Как и в случае деления с остатком целых чисел, деление многочленов может быть также выполнено "столбиком".

Теорема Безу утверждает, что Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a). Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольцес единицей.

Следствия: • Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x

Доказательство теоремы Безу Имеем P(x) = (x − a)Q(x) + R, причём degQ(x) < degP(x),R = const. Подставляя a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R.

Метод Гаусса. Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными. Выпишем расширенную матрицу системы/ Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрицедобиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Находим первый ненулевой столбец в матрице. Пусть это будет столбец с номером. Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрицеуже произведена, то есть. Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число, к третьей строке прибавим первую, умноженную на число, и т.д. В результате получим матрицу

Если в матрице встретилась строка с номером, в которой все элементыравны нулю, а, то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что-ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел Матрицуможно записать в виде

где

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

где ,. Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее. Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть. Заметим, что. Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части. Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы. Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами, включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин(в частности, просто произвольной величиной). Эта запись и будет общим решением системы. Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при, взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при-- второе решение и т.д. Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: "Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют." Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи.Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число. Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа. Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а  - некоторая постоянная величина. Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют  и коэффициенты многочлена Q(x). Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.