Метод моментов

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретическихиэмпирических моментов.Теоретическим моментом-го порядка называется функция . Отметим, что теоретический момент есть функция отнеизвестных параметров.Эмпирическим моментом -го порядка называется .

Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментовследует:

1) явно вычислить теоретические моменты ,, и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных:

(1)

В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.

2. решить систему (1) относительно переменных . Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результатеокажутся функциями от:,…….

Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

(ТВиМс) Семинар 11.

Рассмотрим случайную величину  и случайную выборку =(X₁,…, X_n), полученную в результате n независимых испытаний над ней. Требуется проверить некоторую гипотезу H₀ о законе распределения . Будем говорить, что задан некоторый статистический критерий для проверки гипотезы H₀, если сформулировано правило, согласно которому принимается решение: согласуются ли наблюдаемые значения с гипотезой (обычно ее называют основной или нулевой) или она должна быть отвергнута, как противоречащая статистическим данным.

Для построения критерия обычно разбивают выборочное пространство  на два непересекающихся множества R и S таких, что все значения выборки , принадлежащие множествуR, считаются характерными для гипотезы H₀, а принадлежащие множеству S– нехарактерными для гипотезы H₀. Гипотезе H₀ принимается, если конкретная реализация выборки будет принадлежать R, и отвергается, если она будет принадлежать S. Следовательно, критерий можно определить с помощью множества S. Множество S называется критическим множеством.

Для каждого критерия возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода– гипотеза H₀ справедлива, но она отвергнута. = –вероятность ошибки первого рода (кратко говорят: ошибка первого рода равна). Ошибка второго рода– гипотеза H₀ ложна, но она принята. –вероятность ошибки второго рода.

Множество S можно задать с помощью статистики T =T(), характеризующей отклонение эмпирических данных от соответствующих (гипотезеH₀) гипотетических значений, распределение которых в случае справедливости H₀ известно (точно или приближенно). Тогда для каждого достаточно малого >0 можно определить подмножество S_1={t: t =T(),}, удовлетворяющее (точно или хотя бы приближенно условию)

.

Любое такое подмножество S_1 порождает следующий критерий согласия для гипотезы H₀: если t =T()–наблюдавшееся значение статистикиT(), то приtS_1 гипотеза H₀ отвергается, в противном случае принимается. Число  называют уровнем значимости критерия или размером критерия, статистику T –статистикой критерия, а сам критерий –критерием S_1.

Любое допустимое распределение выборки, отличающиеся от гипотетического (т.е. распределения при гипотезеH₀), будем назвать альтернативным распределением или альтернативой. Совокупность всех альтернатив называют альтернативной гипотезой и обозначают H₁. Функцией мощности критерия S_1 называется функционал на множестве всех допустимых распределений {F}:

W(F)=W(S_1; F)=.

W(F)–вероятность попадания значений статистики в критическую область, когда истинным распределением наблюдений является F. Если F H₁, то значений W(F) называют мощностью критерия при альтернативе F, оно характеризует вероятность принятия правильного решения в ситуации, когда H₀ ложна. Таким образом, =1– W(F).

Из двух критериев с одним и тем же уровнем значимости  лучшим считается тот, мощность которого при альтернативе больше.

Пусть требуется различить две простые гипотезы H₀ и H₁, согласно которым  абсолютно непрерывна (дискретна) распределена с плотностями распределения p₀(x) и p₁(x) (вероятностями p(x)=P{=x}) .

Теорема Неймана-Пирсона. Наиболее мощный критерий проверки простой гипотезы H₀ при простой альтернативе с вероятность ошибки первого рода  существует и задается критической областью

,

где критическая граница определяется из условия .

Статистика называетсястатистикой отношения правдоподобия.