билеты к экзаменам
.docВопросы по курсу «Математический Анализ»
для потока А1 (лектор - С.К.Блошанская)
1. Понятие точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.
2. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
3. Теорема о пределе суммы (разности) двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.
4. Теоремы о пределе произведения двух последовательностей.
5. Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.
6. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Связь между ними.
7. Предельный переход в неравенствах для двух последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
8. Свойство последовательности стягивающихся отрезков.
9. Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности.
10. Число "е" как предел последовательности.
11. Понятие подпоследовательности. Предел подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
12. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
13. Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности.
14. Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сохранение знака функцией, имеющей ненулевой предел.
15. Критерии Коши существования предела функции в точке.
16. Доказать, что
.
17. Доказать, что
.
18. Сравнение
функций. Необходимое и достаточное
условие того, что
.
19. Эквивалентность функций. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.
20. Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические свойства функций, имеющих предел, и непрерывных функций.
21. Непрерывность функции в точке и на множестве. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.
22. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие наличия предела функции, выраженное через односторонние пределы. Классификация точек разрыва с применением односторонних пределов.
23. Теорема о нуле и о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
24. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
25. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.
26. Необходимое и достаточное условие непрерывности строго монотонной функции.
27. Достаточное условие существования и непрерывности обратной функции.
28. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
29. Понятие производной. Односторонние и бесконечные производные.
Непрерывность функции, имеющей производную. Производная сложной
функции.
30. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.
31. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически.
32. Производные высших порядков. Теорема Лейбница.
33. Понятие дифференцируемой функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
34. Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику функции.
35. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае.
36. Теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной.
37. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Различные виды записи формулы Лагранжа.
38. Теорема Коши о конечных приращениях.
39. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
40. Формула Тейлора.
41. Формулы Тейлора для основных элементарных функций.
42. Условия монотонности функции, имеющей производную.
43. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
44. Исследование на экстремум функции по знаку первой производной.
45. Исследование на экстремум функции по знаку высших производных.
46. Выпуклость функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости функции.
47. Достаточные условия наличия точки перегиба.