Вопросы к экзамену по курсу математического анализа (семестр3)

Вопросы к экзамену по курсу математического анализа «Кратные интегралы и ряды» 3 семестр, факультет «Б»

1. Измеримые множества на плоскости, мера множества. Примеры измеримых множеств. 2.Понятие двойного интеграла. Необходимое условие интегрирования.

З.Теорема об интегрируемости непрерывной функции на измеримом множестве.

4. Свойства двойного интеграла.

5. Повторное интегрирование. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.

6. Вычисление двойного интеграла по стандартной области.

7. Замена переменной в двойном интеграле, якобиан преобразования. Формула для вычисления двойного интеграла с помощью замены переменных.

8. Полярная замена переменной, ее якобиан. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Примеры.

9. Измеримые множества в R*. Мера множества в R³. Примеры измеримых множеств.

10. Понятие тройного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточное условие интегрируемости функции. Свойства тройного интеграла.

11.Повторное интегрирование. Вычисление тройного интеграла через повторные по стандартным областям.

12. Замена переменной в пространстве, якобиан преобразования. Формула замены переменной в тройном интеграле.

13. Сферическая и цилиндрическая замены переменных. Вычисление якобианов преобразований. Формулы вычисления тройных интегралов в сферической и цилиндрической системе координат.

14. Кривые в пространстве. Длина кривой и способ ее вычисления.

15. Понятие криволинейного интеграла первого рода. Формула вычисления криволинейного интеграла первого рода .

16. Понятие криволинейного интеграла второго рода. Формула вычисления криволинейного интеграла второго рода.

17. Потенциальные поля, условия потенциальности. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

18. Поверхность в пространстве, способы ее задания. Площадь поверхности и ее вычисление.

19. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства. Формула вычисления поверхностного интеграла первого рода.

20. Ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл второго рода. Формула вычисления поверхностного интеграла второго рода.

21. Формула Грина.

22. Формула Стокса.

23. Формула Остроградского.

24. Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

25. Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения в форме неравенства рядов с положительными членами.

26. Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения в форме отношения рядов с положительными членами.

27. Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

28. Числовые ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши.

29. Числовые ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.

30. Числовые ряды с положительными членами. Признак Раабе.

31. Понятие абсолютной и условной сходимости. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Достаточные признаки абсолютной сходимости.

32. Знаконеопределенные ряды. Преобразование Абеля. Признак Абеля сходимости ряда.

33. Признак Дирихле сходимости числового ряда. Примеры.

34. Сходимость функциональной последовательности, равномерная сходимость на множестве, критерий Коши равномерной сходимости. Теорема о равномерной сходимости последовательности ограниченных функций.

35. Теорема о равномерной сходимости последовательности непрерывных функций.

36. Функциональные ряды, поточечная сходимость. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости рядов. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

37. Теоремы об интегрировании функциональной последовательности и ряда.

38. Теоремы о дифференцировании функциональной последовательности и ряда.

39. Степенные ряды. Теорема об абсолютной сходимости степенного ряда в интервале сходимости.

40. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда.

41. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда.

42. Теорема Даламбера о радиусе сходимости степенного ряда.

43. Теорема о структуре области равномерной сходимости степенного ряда.

44. Непрерывность суммы степенного ряда в интервале сходимости.

45. Теорема о почленной дифференцируемости и интегрируемости степенного ряда.

46. Ряд Тейлора функции. Разложимость функции в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции.

47. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Примеры.

48. Абстрактные ряды Фурье в пространствах со скалярным произведением.

49. Тригонометрические ряды Фурье на отрезке [-п; п]. Достаточное условие сходимости. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье.

50. Синус, косинус и комплексное преобразование Фурье. Свойство линейности, подобия, сдвига образа и прообраза комплексного преобразования Фурье.

51. Свойства дифференцирования образа и прообраза комплексного преобразования Фурье.

52. Теорема о свертке. Обратные синус, косинус и комплексное преобразования Фурье.

53. Интеграл Фурье. Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье Связь между интегралом Фурье и преобразованием Фурье.