(1-ый замечательный предел)

Тh.1 lim _х0 (sinx/x) = 1

f(x) = sinx/x – четная функция;  нам достаточно рассмотреть эту функцию при положительных х; 0<|x/2|</2; sinx<x<tgx; 1x/sinx1/cosx  cosx  sinx/x1; lim_х0(cosx)=1

 lim _х0 (sinx/x)=1

Свойства монотонных функций. Def.2 f:er называется .

1. монотонно неубывающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)f(x₂)

2. монотонно возрастающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁<x₂  f(x₁)<f(x₂)

3. монотонно невозрастающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)f(x₂)

4. монотонно убывающей на [a,b]Е (f на [a,b]), если  x₁,x₂[a,b]: x₁>x₂  f(x₁)>f(x₂)

Такие функции называются монотонными функциями на [a,b]. Монотонные функции обладают рядом свойств, которыми не обладают немонотонные функции.

Th.1 (о точках разрыва монотонных функций) Пусть задана f: [a,b]R, которая

является монотоной на [a,b]. Тогда :

Если f на [a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=inf_х[xo,b]f(x)=:A и

1)lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=sup_х[xo,b]f(x)=:B и справедливо неравенство :

B=f(x₀-0)f(x₀)f(x₀+0)=:A

2) Если f на [a,b], то  x₀[a,b] lim_хxo+0f(x)=:f(x+0)=sup_х[xo,b]f(x)=:C и

lim_хxo-0f(x)=:f(x-0)=inf_х[xo,b]f(x)=:D и справедливо неравенство С=f(x₀+0)f(x₀)f(x₀-0)=:D

Равномерная непрерывность.

Рассмотрим обычное определение непрерывности функции в точке f:ER, назыавется непрерывной в точке аЕ  >0 >0:(xE и |x-a|<)|f(x)-f(a)|<. Вообще говоря, =(,а)

При изменении точки а для одной и тойже функции f и для того же >0, число , выбираемое по  будет изменяться.

Это не очень важно, если точка а фиксирована. Однако, если точка а изменяестся на множестве АЕ, то может возникнуть 2 случая:

1) Для каждой точки аА >₁>0

2) ₁>0: аА >₁>0, т.е.

a) inf_aA(,а)= ₁>0

b) inf_aA(,а)=0. Функция является равномерно непрерывной в 1-ом случае.

Def.2 Пусть задана f:ER (Е-числовое множество). Эта функция называется равномерно

непрерывнойна множестве АЕ, если >0 =()>0: (x₁A и x₂A: |x₁- x₂|< 

|f(x₁)-f(x₂)|<). Если x₂=a, x₁=х, то определение равномерной непрерывности функции f на множестве А превращается в обычное определение непрерывности функции f в точке а.  из равномерной непрерывности на множестве А вытекает обычная непрерывност на том же множестве А, а обратное утверждение неверно.

Пример f(x)=x²R, непрерывна на R, но не равномерно непрерывна на R.

Докажем это: рассмотрим x_n’=(n+1)^1/2 и x_n”=n^1/2 nN | x_n’- x_n”|=(n+1)^1/2-n^1/2=

=1/((n+1)^1/2+n^1/2)0 (n) |x_n’-x_n”|> (>0) при n-достаточно большом, рассмотрим f(x_n’)=( (n+1)^1/2) ²=n+1

f(x_n”)=(n^1/2)²=n; |f(x_n’)-f(x_n”)|=n+1-n=1  разность не мала, хотя точки близки друг к другу  функция f(x) не является равномерно непрерывной на множестве R. Однако .

Th. (теорема Кантора о равномерной непрерывности (из Зорича))

Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке

Пусть f: ER; E = [a, b] и f  C(E). Поскольку f непрерывна в любой точке х  Е, то по  > 0 можно найти такую -окрестность U^(x) точки х, что колебание (f, U^_E(x)) на

множестве U^_E(x) := E  U^(x) окажется меньше . Для каждой точки х  Е построим окрестность U^(x) обладающую этим свойством. Величина  при этом может меняться поэтому окрестности обозначим U^(х)(x). Введем условную запись U(x) = U^(х)(x) и

V(x) = U^1/2(x)(x). Интервалы V(x), х  Е, в совокупности образуют покрытие отрезка

E = [a, b]. Из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное покрытие V(x₁), …, V(x_n). Пусть  = min{1/2(x₁), …, 1/2(x_n)}. Покажем, что для любых точек х’, x’’  E, таких, что|x’-x’’|<, выоплнено |f(x’)-f(x’’)|<. Действительно, поскольку система интевалов V(x₁), …, V(x_n) покрывает Е, найдется интервал V(x_i) этой системы, который содежит точку х’, т.е. |x’ - x_i |<1/2(x_i), но в таком случае

|x’’- x_i| | x’ – x’’| +| x’ - x_i | <  +1 /2(x_i) < 1/2(x_i) + 1/2(x_i) = (x_i).

 x’, x’’ U^(xi)_E(x_i) = E  U^(xi)(x_i) и потому | f(x’) - f(x’’)|  (f, U^(xi)_E(x_i)) < 