Матан 2 семестр

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

1 курс ф-т А МИФИ, 2 семестр (2005 г.) Лектор доц. Блошанская C.K.

РАЗДЕЛ І. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства нео­пределенного интеграла.

2. Основные методы неопределенного интегрирования (интегрирование подстанов­кой, интегрирование по частям).

3. Интегрирование элементарных рациональных дробей.

4. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных рациональных дробей. Нахождение коэффициентов разложения методом неопреде­ленных коэффициентов и методом вычеркивания.

5. Теорема об интегрировании рациональных дробей.

РАЗДЕЛ II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА

6. Определение определенного интеграла Римана. Разбиение отрезка, характеристика разбиения, интегральные суммы. Геометрический смысл интегральной суммы и интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Пример неинтегрируе­ мой по Риману ограниченной функции.

7. Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их свойства. Верхний и нижний интегралы Дар­ бу.

8. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

9. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных функций.

10. Основные свойства определенного интеграла (линейность, независимость интег­рала от значений функции в конечном числе точек, аддитивность интеграла по множеству, свойства, выраженные неравенствами) .

11. Теоремы о среднем для определенного интеграла. Геометрический смысл теорем о

среднем.

12. Понятие интеграла с переменным верхним пределом. Непрерывность и диф- ференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.

13. Понятие интеграла с переменным верхним пределом. Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

14. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле .

РАЗДЕЛІІІ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

15. Определение несобственного интеграла 1-го рода - интеграла от ограниченной функции по неограниченному промежутку. Сходящиеся и расходящиеся интегра­ лы. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 1-го рода. Исследова-

ние на сходимость интеграла.

16. Признаки сравнения для несобственных интегралов (общий признак сравнения,

частный признак сравнения с интегралом , признак сравнения в предель- ной форме.)

17. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Признак Дирихле - Абеля сходи­ мости несобственных интегралов. Исследование на абсолютную и условную

сходимость интеграла

18. Несобственные интегралы 2-го рода - интегралы от неограниченных функций по ограниченному промежутку. (Сходящийся и расходящийся интеграл, критерий^

Коши, признаки сравнения). Исследование на сходимость интеграла .

19. Главное значение несобственного интеграла. Примеры.

РАЗДЕЛ Ѵ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

20. Параметрическое задание кривой на плоскости и в пространстве. Понятие прос­той плоской кривой. Спрямляемые кривые. Длина дуги кривой.

21. Понятие площади плоской фигуры. Критерий квадрируемости фигуры. Теорема о квадрируемости криволинейной трапеции.

22. Объем тела вращения.

РАЗДЕЛ IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. n-мерное координатное и n-мерное евклидово пространство. Скалярное

произведение векторов n-мерного пространства и его свойства. Длина вектора.

Множества точек n-мерного евклидова пространства (шар, параллелепипед,

прямая и отрезок; открытые, замкнутые, связные множества).

24. Функции многих переменных. График функции. Предел функции по совокупности переменных по Коши и по Гейне. Предел функции по отдельным переменным и в направлении кривой Г. Примеры. Повторные пределы.

25. Функции многих переменных. Непрерывность функции. Непрерывность по совокупности переменных и непрерывность по отдельным переменным. Примеры.

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

26. Непрерывность функции многих переменных. Теорема о непрерывности сложной

функции.

27. Определение дифференцируемости функции многих переменных и дифференциала. Частные производные. Необходимое условие дифференцируемости функции.

28. Дифференциал функции многих переменных. Достаточные условия дифференцируемости функции.

29. Теорема о дифференцировании сложной функции и ее следствия.

30. Инвариантность формы первого дифференциала. Свойства дифференциалов функций многих переменных.

31. Градиент функции многих переменных и производная функции по направлению.

Свойства градиента.

32. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.

33. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов

высших порядков. Важный частный случай, когда сохраняется свойство инвариантности дифференциалов высших порядков.

34. Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (б/д).

Теорема Лагранжа.

35. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума.

Стационарные точки.

36. Экстремумы функций многих переменных. Достаточные условия экстремума.

37. Неявные функции. Теорема о производной неявной функции.