ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по курсу -Математический анализ-

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по курсу "Математический анализ"

I семестр Лектор: Селиванова С.Г.

I.Действительные и комплексные числа

1.Точная верхняя (нижняя) грань у множества чисел, ограниченно сверху (снизу).

2.Комплексные числа, различные формы их записи. Возведение в степень комплексного числа и извлечение из него корня.

II.Предел последовательности

3.Последовательность и предел последовательности. Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности.

4.Сходимость суммы, произведения и частного двух сходящихся последовательностей. Сходимость модулей сходящейся последовательности.

5.Предельный переход в неравенствах, теорема о трех последовательностях (о пределе промежуточной последовательности).

6.Свойства последовательности стягивающихся отрезков.

7.Существование предела ограниченной монотонной последовательности.

8.Число " " как предел последовательности.

9.Подпоследовательность сходящейся последовательности.

10.Теорема Больцано-Вейерштрасса.

11.Критерий Коши существования предела числовой последовательности.

III.Предел функций

12.Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности.

13.Критерий Коши существования предела функции в точке.

14.Локальная ограниченность функции, имеющей предел, и сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел.

15.Доказать, что

lim sin = 1.

→0

16. Доказать, что

		1
	lim 1 +		= .
	→∞

17.Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы " " и " ", асимптотическое равенство (эквивалентность) функций. Достаточные условия того, чтобы( ) и ( ) были функциями одинакового порядка.

IV. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.

18.Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного двух непрерывных функций.

19.Классификация точек разрыва функции.

20.Понятие сложной функции. Теорема о достаточных условиях непрерывности сложной функции.

21.Теорема об обращении в 0 непрерывной на отрезке функции. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.

22.Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

23.Теорема о достижении точных граней функцией, непрерывной на отрезке.

24.Непрерывность монотонной функции.

25.Понятие равномерной непрерывности функции на промежутке. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

V.Дифференцируемость, производная и дифференциал.

26.Определение производной. Необходимое условие существования производной. Геометрический смысл производной.

27.Дифференцируемость и дифференциал. Критерий дифференцируемости Функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.

28.Касательная и нормаль к графику функции.

29.Производная суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.

30.Теорема о дифференцируемости сложной функции.

31.Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала первого порядка и неинвариантность формы дифференциалов высших порядков.

32.Производные высших порядков. Формула Лейбница.

33.Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

34.Производные тригонометрических функций, производные показательной, логарифмической и гиперболических функций.

VI. Свойства дифференцируемых функций.

35.Теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной.

36.Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

37.Теорема Коши о конечных приращениях.

38.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0. Раскрытие неопределенностей других видов (без доказательства).

39.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

40.Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

41.Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши.

42.Оценка остаточного члена формулы Тейлора. Формула Тейлора для функций , cos и sin с оценкой остаточного члена.

43.Формулы Тейлора для функций ln 1 + , (1 + ) .

VII. Исследование функций

44.Максимумы и минимумы (экстремумы) функций. Необходимое условие экстремума. Исследование функции на экстремум по знаку первой производной.

45.Исследование функции на экстремум по знаку высших производных (при помощи формулы Тейлора).

46.Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью формулы Тейлора.

47.Кривизна кривой.

48.Радиус и центр кривизны.