Пределы

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , , 

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль  (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль . ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);

• использование замечательных пределов;

• применение правила Лопиталя;

• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Пример. Вычислить предел  Решение. Подставляем значение:   И сразу получили ответ. Ответ:  Пример. Вычислить предел  Решение. Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:   То есть, предел можно переписать в виде   Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем  и , следовательно, можно записать . Исходя из этого, наш предел запишется в виде:   Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:   Ответ:  Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений. Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей. Пример. Вычислить предел  Решение. Подставляем значение:   Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.   После преобразования неопределенность раскрылась. Ответ:  Пример. Вычислить предел  Решение. Подставляем значение:   Пришли к неопределенности (0 на 0). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя сопряженным выражением будет    Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.   После ряда преобразований неопределенность исчезла. Ответ:  ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь. Пример. Вычислить предел  Решение. Подставляем значение:   Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет. Разложим числитель на множители:   Разложим знаменатель на множители:   Наш предел примет вид:   После преобразования неопределенность раскрылась. Ответ:  Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать. Пример.   Пример.   Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при  возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на  Пример. Вычислить предел  Решение.   Степень числителя равна семи, то есть m=7. Степень знаменателя также равна семи n=7. Разделим и числитель и знаменатель на .   Ответ:  Пример. Вычислить предел  Решение.   Степень числителя 8/3, степень знаменателя 2. Разделим и числитель и знаменатель на .   Ответ:  Пример. Вычислить предел  Решение.   Степень числителя 3, степень знаменателя 10/3. Разделим и числитель и знаменатель на .   Ответ:  ВЫВОД. Таким образом, возможны три варианта для предела отношения степенных выражений: 

• Если m равно n, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях;

• Если m больше n, то предел равен бесконечности;

• Если m меньше n, то предел равен 0.

Подробно ознакомиться с остальными методами раскрытия неопределенностей Вы можете в разделе Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.