Свойства экспоненциального распределения
- случайная величина, которая имеет экспоненциальное распределение.
Операция – действие, имеющее случайную длительность.
-
О
тсутствие
последействия (только для экспоненциального
распределения)
┬
─────┬─────┬───────────
Фактически:
0 t t + x
t – остаточная длительность (остаточное время жизни)
-
1 , 2 , … , n – независимые случайные величины, имеющие экспонентное
распределение: i ~ E ( i )
Тогда,
если
= min
(
1
,
2 ,
… ,
n
), то имеет
место следующее свойство:
Доказать, что
3) Пусть в момент t продолжаются n 1 операции экспоненциального
типа ( приборы работают). Обозначим через ( ) случайное число
операций, заканчивающихся в ( t , t + ).
Каждая операция имеет экспоненциальное распределение со своим
параметром
i
, i
=
1 , n ,
Тогда для :
-
- случайная величина, которая имеет экспоненциальное распределение.
СМО M | M | n | N |
Пусть n = t n - t n – 1 , n 1 , - интервал между событиями входящего потока ( между моментами поступления требований в системе ).
P ( n < x ) = 1 - ℓ - x , n 1
( n ) – случайная длительность обслуживания требований ;
P ( n < x ) = 1 - ℓ - x , n 1
0 , 0 , n 1 N 1 ( конечно )
- без индекса ( считаем, что все приборы однотипные)
Введем случайный процесс ( t ) – число требований в системе в момент t (стохастическая модель системы).
(
t ) = { 0 , 1 , 2 , …, n + N }
все приборы и места в очереди заняты
множество состояний: n + N +1
1. ( t ) – марковский (основано на свойствах экспоненциального распределения и
свойствах входящего потока)
2. Докажем, что ( t ) – ПГР. Проверим свойства этого процесса.
P
k , k
+ 1 (
) = P {
( t +
) = k + 1 |
( t ) = k } –
переходная вероятность за
малое время.
Введем события:
A 0 – событие, состоящее в том, что на интервале ( t , t + ) не закончилась ни
одна операция.
Операции: n – ожидание
( n ) – обслуживание
A 1 – закончилась ровно одна операция.
A k – закончилась ровно k операций.
-
закончилось по крайней мере две операции.
A 0 , A 1 , B 2 – образуют полную группу несовместимых понятий.
Поэтому можно записать:
P k , k + 1 (
) = P { ( t +
) = k + 1 , A 0 |
( t ) = k } +
+ P { ( t + ) = k + 1 , A 1 | ( t ) = k } + P { ( t + ) = k + 1 , B 2 | ( t ) = k }.
Заметим:
= 0, т.к.
( t +
) = k + 1 , A
0 не
совместимы при условии
( t ) = k
= 0 (
)
,
по свойству экспонентного распределения.
Такими
свойствами обладает событие B 2 .
ровно одно требование поступило
и ни одно не обслужилось =
= P
{ (
) = 1 , { } =
( ) – число требований, поступивших ( t , t + ).
- остаточное время
обслуживания в i –ом
канале.
вероятность того, что за время поступит одно
требование. Случаи, когда k = 0, k n –
рассматриваются аналогично.
=
( 1 ) P k , k + 1 ( ) =
Лекция № 16
Завершение исследования системы МО M | M | n | N |