Найдем вероятность на 1 меньше:
P k , k - 1 ( ) = P { ( t + ) = k - 1 | ( t ) = k } =
P { ( t + ) = k - 1 , A 0 | ( t ) = k } + P { ( t + ) = k - 1 , A 1 | ( t ) = k } +
+ P { ( t + ) = k - 1 , B 2 | ( t ) = k }.
P { ( t + ) = k - 1 , A 0 | ( t ) = k } = 0
P { ( t + ) = k - 1 , B 2 | ( t ) = k } =
P { ( t + ) = k - 1 , A 1 | ( t ) = k } = { событие должно завершиться. Идет
операция обслуживания в одном из каналов и ничего не должно поступать } =
{ все эти события
несовместны, поэтому можно записать сумму вероятностей } =
=
( t ) – остаточное время от t до поступления требования.
i , t - от t до окончания обслуживания.
P ( t < x ) = 1 - ℓ - x , P ( i , t < x ) = 1 - ℓ - x
( в силу свойства отсутствия последействия )
P k , k - 1 ( ) = ( 2 )
Аналогично можно получить:
P k , k - 1 ( ) =
Найдем вероятность остаться в состоянии k:
P k , k = P { ( t + ) = k | ( t ) = k } = P { ( t + ) = k , A 0 | ( t ) = k } +
+ P { ( t + ) = k , A 1 | ( t ) = k } + P { ( t + ) = k , B 2 | ( t ) = k }.
P { ( t + ) = k , A 1 | ( t ) = k } - одна операция закончилась и при этом ничего
не изменилось.
P { ( t + ) = k , B 2 | ( t ) = k } = .
P { ( t + ) = k , A 0 | ( t ) = k } = { ничего не поступает, ничего не
обслуживается } =
P ( t > ) =
=
( 3 ) P k , k - 1 ( ) =
Из соотношений ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) получаем определение ПГР.
Вывод: Наш процесс ( t ) - ПГР.
В этом ПГР имеются интенсивности перехода:
Из теории ПГР: предельные распределения ПГР ( t )
k = 1
Найдем стационарные вероятности. Из теории ПГР известно, что предел распределения записывается так:
Замечание. Зная это распределение, можно записать характеристики (стационарные).
Стационарные характеристики системы
1) Вероятность потери требования = P n + N
2) Распределение длины очереди
- случайная длина очереди, { 0 , 1 , …, N }
Математическое ожидание очереди
3) Распределение времени ожидания в очереди до начала обслуживания
- случайное время от поступления требования до начала обслуживания.
A k – в установившемся режиме в системе находится “ k “ требований,
k = 0 , 1 , …, n + N
P ( A k ) = p k ( из формулы ( 6 ) ).
Если число требований n + N , то поступившее требование теряется: = .
P ( = ) = P n + N > 0
- несобственная случайная величина, M = .
Рассмотрим случай, когда = , т.е. число требований меньше n + N (есть
места).
Рассмотрим распределение:
Тогда введем следующие вероятности:
Рассмотрим два случая:
-
Есть свободные приборы:
P ( = 0 | ) = { число требований < n } = -
ждать мы не будем
2) Пусть в момент t поступления нашего требования в системе находится k
требований ( k = n , n +1 , … , n + N – 1 ).
Рассмотрим:
-
1
Обозначим 1 ( 1 ) , … , n ( 1 ) –
случайные длительности от t до
окончания обслуживания (остаточные
длительности обслуживания).
2
3
n
Обозначим
1 = min ( 1 ( 1 ) , … , n ( 1 ) )
Через время 1 уйдет из системы первое требование и система продвинется.
По свойству экспоненциального распределения
Обозначим t 1 = t + 1 – время ухода (момент ухода ) первого требования из
системы.
Пусть 1 ( 2 ) , … , n ( 2 ) – случайные длительности от t 1 до окончания
обслуживания требований.
-
в силу свойства отсутствия последействия
2 = min ( 1 ( 2 ) , … , n ( 2 ) ) . 2 имеет такое же распределение, как 1:
.
В момент t 2 = t 1 + 1 + 2 из системы уходит второе требование и т.д.
Чтобы наше требование начало обслуживаться, оно должно пройти k – n + 1 требование, т.е. в момент t + 1 + 2 + … + k – n + 1 уходит очередное ( k – n + 1)-е требование.
Итак, при условии случайная величина = 1 + 2 + … + k – n + 1 -
имеет распределение Эрланга порядка k – n + 1 с параметром n .
Следовательно запишем распределение Эрланга:
= P ( 1 + 2 + … + k – n + 1 < x ) =
─────┬──────┬────┬─────┬──
По формуле полной вероятности:
= =
Процессы восстановления
Поток задается последовательностью { t n = t n ( ) , 1 n < } случайных величин, определяющих моменты поступления требований.
Поток можно определить, задавая последовательность
интервалов между моментами поступления соседних вызовов
Определение: Случайный поток однородных событий называется потоком с ограниченным последствием, если случайные величины взаимно независимы (т.е. будущее не зависит от прошлого)
Из определения следует что для того чтобы задать поток с ограниченным последействием достаточно задать последовательность распределений
Определение : Поток с ограниченным последействием, для которого называется рекуррентным потоком с запаздыванием или процессом восстановления с запаздыванием
Поток с ограниченным последействием для которого при называется рекуррентным или простым процессом восстановления.
В дальнейшем будем иметь ввиду :
Для простого процесса восстановления, характеризуемого функцией распределения , обозначим через число восстановлений (требований, вызовов) произошедших до момента , а через - функцию восстановления, которая определяется равенством
(1)
Обозначим -момент k-го восстановления (), Тогда по определению процессов восстановления, -последовательность независимых в совокупности случайных величин с законом распределения . Выразим вероятность через вероятности
Имеет место равенство , которое следует из определения случайной величины . Событие представим в виде суммы двух несовместных событий : . Тогда
(2)
Подставляя (2) в (1) получим:
(3)
где -n-кратная свертка закона F(t), причем
(4)
Распределение случайной величины м представить в виде n-кратной свертки закона F(t), так как -независимые в совокупности случайные величины и
Теперь используя (3) выведем интегральное уравнение восстановления связывающее функцию восстановления H(t) и функцию распределения случайных величин
Из определения свертки двух функций распределения следует :
(5)
Используя (3) и (4) запишем :
Но из (3) имеем следовательно искомое интегральное уравнение восстановления , если последний интеграл взять по частям и учесть F(0)=0, H(0)=0, то
Элементарная теорема восстановления
Пусть H(t) – функция восстановления простого процесса восстановления, определяемого распределением - функция восстановления процесса восстановления с запаздыванием, определяемого распределениями , тогда существуют и
Узловая теорема восстановления
Пусть функция есть неотрицательная невозрастающая функция, и неинтегрируемая в пределах . Тогда при :
Эти условия можно оставить или усилить:
-
Q(x) – ограниченное изменение
Пусть в последовательности взаимно независимых неотрицательных случайных величин . Величины образуют альтернирующий процесс восстановления.
Для произвольного обозначим через вероятность того, что момент t попал на нечетный интервал (точнее момент накрывается нечетным интервалом)
(1)
Требуется определить
Последовательность образует простой процесс восстановления с функцией распределения :
H ( t ) – функция восстановления этого процесса; d H ( t ) – вероятность, что в бесконечно малой окрестности произошло восстановление. Тогда в соответствии с равенством ( 1 ) имеем :
( 2 )
где = 1 –
Функция удовлетворяет всем требованиям узловой теории. Поэтому
и равен
( 3 )
Для нестационарного случая при fix t из ( 2 ) можно определить преобразования Лапласа – Стильтыса
:
т.к. , получаем
( 4 )
Поскольку ( 0 ) = 1, то
( 5 )
Если альтернирующий процесс восстановления 0 , 1 … начинается с периода 0 , распределенному по закону F 0 = P ( 0 < x ) , то для этого случая имеем:
( t ) = P ( 0 < t 0 + 1 ) +
Тогда
где ( t) – вероятность того, что момент t накрывается нечетным интервалом 2 k + 1 .
Теорема Блэкуэлла. Пусть есть процесс восстановления с запаздыванием.
{ t n }, функция восстановления его : H 1 ( t ) ,
F ( t ) – функция распределения представляет нерешетчатое
распределение
F ( t ) = P ( k < t ) , k 2
Тогда
приращение функции восстановления
- математическое ожидание M k ; k ?
- среднее число восстановлений в единицу времени.