Шпоры по ВМ1

30. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Пусть f:XR дифференцируема в точке x0X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0, если существует ε>0 такое, что для любого Геометрически выпуклость вверх(вниз) означает, что в некоторой проколотой окрестности x0 график лежит выше (ниже) касательной к графику в точке x0. Е сли f’’(x0)>0(<0), то функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0. Точки, при переходе через которые характер выпуклости функции f меняются, называются точками перегиба функции. Пусть x0 точка перегиба функции f. Если существует f”(x0), то f”(x0)=0. Д-во: Допустим, что f”(x0)>0(<). Тогда по теореме о выпуклости функция выпукла вниз (вверх) в точке x0, что противоречит условию. Следовательно f”(x0)=0. Если при переходе через “подозрительную” точку x0 вторая производная меняет знак, то x0-точка перегиба. В противном случае перегиба нет.

31. Асимптоты графика функции. 32. Многочлены. Основная теорема высшей алгебры. Теоремы Безу. Корни простые и кратные. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией. Основная теорема алгебры Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный. Теорема Безу. При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a). Д-во: При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R. Переходя к пределу при х  a, получаем f(a) = R. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.

33. Многочлены с вещественными коэффициентами. Разложение на множители. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при x^n. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого. Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид: ki - кратность соответствующего корня. Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).