Тр Графики вар 25

3 _ 01_ 25

y =16x3 −36x2 +24x −9 1)областьопределения

D( y) = R

2)четность, нечетность, периодичность

y(x) ≠ ±y(−x) функция ничетна, ни нечетна, непериодична 3)интервалы знакопостоянства

y = 0 x =3 / 2

y несуществует x y(x) > 0 при x (3 / 2; ∞) y(x) < 0 при x (−∞;3 / 2) A(3 / 2; 0)

4)интервалывозростания, убывания y ' = 48x2 −72x +24 = 24(2x2 −3x +1) y ' = 0 x =1/ 2; x =1

y ' несуществует x

y '(x) > 0 при x (−∞;1/ 2) (1; ∞) y(x) возростаетпри x (−∞;1/ 2) и при x (1; ∞) y '(x) < 0 при x (1/ 2;1) y(x) убываетпри x (1/ 2;1)

B1 (1/ 2; y(1/ 2)) −точка максимума; B2 (1; y(1)) −точка минимума 5)асимптоты

а)вертикальные
вертикальныхасимптотнет
б)наклонные
k = lim	y(x)			= lim	16x3 −36x2 +24x −9			=
	x						x
x→±∞				x→±∞		)
= lim 16x2		−36x +24 −9 / x					=∞
x→±∞ (

наклонныхасимптотнет 6)область значений

E( y) = R

3 _ 02 _ 25

y = 9 3 x +1 2 −6x −6 1)областьопределения

D( y) = R

2)четность, нечетность, периодичность

y(x) ≠ ±y(−x) функция ничетна, ни нечетна, непериодична 3)интервалы знакопостоянства

y = 0 x = −1; x =19 / 8
y несуществует x
y(x) > 0 при x (−∞; −1) (−1;19 / 8)
y(x) < 0 при x (19 / 8; ∞)
A1 (−1; 0); A2 (19 / 8; 0)
4)интервалывозростания, убывания
y ' = 9 (2 / 3)(x +1)−1/ 3 −6 = 6		1		−6
		(x +1)	−1/ 3
y ' = 0 x = 0
y ' несуществует x = −1

y '(x) > 0 при x (−1; 0) y(x) возростаетпри x (−1; 0)

y '(x) < 0 при x (−∞; −1) (0; ∞) y(x) убываетпри x (−∞; −1) и при x (0;∞)

B1 (−1; y(−1)) −точка минимума; B2 (0; y(0)) −точка максимума 6)асимптоты а)вертикальные вертикальныхасимптотнет б)наклонные

y(x)

9

3

x +1

2

−6x −6

9

3

1 +1/ x

2

6

k = lim

=

=

−6

−

= −6

lim

lim

x

x

x1/ 3

x

x→±∞

x→±∞

x→±∞

)

b = lim

(y(x) −kx)= lim

9 3

x +1

2 −6

= ∞

наклонныхасимптотнет

x→±∞

x→±∞ (

7)область значений

E( y) = R

3 _ 03 _ 25
y = −	x	2	+2x +	8	+5,	[−2, 1]
				x −2
2

y ' = −x +2 +8 (−1) (x −2)−2 = −((x −2)3 +8) (x −2)2

y ' = 0 x = −1

y ' несуществует x = 2

x = 2 не лижитв указанноминтервале y(−2) = −3

y(−1) = −1/ 6 y(1) = −3 / 2

min y(x) = −3

[−2;1]

max y(x) = −1/ 6

[−2;1]

3 _ 04 _ 25

составимфункцию

Ek =

m v2

(m0 −k t2 )

(g t)2

g2

(m0 t

2

−k t

4

)

=

=

2

2

2

Ek′ =

g2

(2t m0 −4k t3 )

2

Ek′ = 0 2t m0 −4k t3 = 0 m0

= 2k t2 t =

m0

2k

H =

g t2

tmax

=

2H

max

2

g

m0 = 3000; k =100; g =10; H = 980

tx =

m0

=

15

2k

tmax =

2H

=14 >

15 Ek max =

g2

(m0 tx2

−k tx4 )=1125000

g

2

ответ:1125000 Дж

3 _ 05 _ 25

y = x4 + 4x3 +12x2 + 24 (x +1 −ex ), x0 = 0

y ' = 4x3 +12x2 + 24x + 24 −24ex ; y '(x						) = 0
					0
y ''	=12x2	+ 24x + 24 −24ex ; y ''(x		) = 0
			0
y '''	= 24x	+ 24 −24ex ; y '''(x	) = 0
		0
yIV = 24 −24ex ; yIV (x ) = 0
		0
yV = −24ex ; yV (x ) ≠ 0
		0
yV	−нечетная производная х			0	не является точкой экстремума

3 _ 06 _ 25

y = (3x2 −10)

4x2 −1

1)областьопределения: D( y) = (−∞; −1/ 2) (1/ 2; ∞)

2)четность, нечетность, периодичность

y(x) = y(−x) функциячетна, непериодична

3)интервалы знакопостоянства

y = 0 x = ± 10 / 3; y несуществует x = ±1/ 2

y(x) > 0 при x (−∞; − 10 / 3) (

10 / 3; ∞)

y(x) < 0 при x (− 10 / 3; −1/ 2) (1/ 2;

10 / 3)

A1 (− 10 / 3; 0); A2 (

10 / 3; 0)

6)асимптоты

а)вертикальные: x = ±1/ 2 −вертикальная асимптота

б)наклонные

1)правая y = kx +b

k = lim

y(x)

= lim

3x2 −10

3 −10 / x2

3

= lim

=

x

2

x→∞

x→∞ x 4x2 −1

x→∞

4 −1/ x2

b = lim

(y(x) −kx)

3x2

−10

3x

2(3x2 −10) −3x 4x2 −1

= lim

−

2

= lim

=

2 −1

2 4x2 −1

x→∞

x→∞

4x

x→∞

= lim

6x −20 −3 4x2 −1

= 0 y

=

3x

−правая асимптота

2 4 −1/ x2

2

x→∞

т.к. функциячетна, то y = −

3x

− левая асимптота

2

7)область значений : E( y) = R

3 _ 07 _ 25 _ 01

y = −(x(x + 2))2

1)областьопределения: D( y) = (−∞; −2) (−2; ∞) 2)четность, нечетность, периодичность

y(x) ≠ ±y(−x) функция ничетна, ни нечетна, непериодична 3)интервалы знакопостоянства

y = 0 x = 0

y несуществует x = −2 y(x) > 0 при x

y(x) < 0 при x (−∞; −2) (−2; 0) (0; ∞) A(0; 0)

4)интервалывозростания, убывания

	y ' = −2	x		x + 2 − x	=	−4x
		x + 2		(x + 2)2		(x + 2)3
	y ' = 0 x = 0
	y ' несуществует x = −2

y '(x) > 0 при x (−2; 0) y(x) возростаетпри x (−2; 0)

y '(x) < 0 при x (−∞; −2) (0; ∞) y(x) убываетпри x (−∞; −2) и при x (0;∞)

с учетомтого, что y′ меняет знак с"+" на"−" при переходечерез x = 0, то

	B(0; y(0)) −точка максимума
	5)интервалывыпуклости, вогнутости
	y '' = −4	(x + 2)3 − x 3(x + 2)2	= −4	(x + 2)	−3x	=	8(x −1)
		(x + 2)6		(x + 2)4			(x	+ 2)4
	y '' = 0 x =1
	y '' несуществует x = −2

y ''(x) > 0 при x (1; ∞) y(x) вогнутапри x (1; ∞)

y ''(x) < 0 при x (−∞; −2) (−2;1) y(x) выпукла при x (−∞; −2) (−2;1)

C(1; y(1)) −точка перегиба

6)асимптоты

а)вертикальные

x = −2 −вертикальная асимптота

б)наклонные

k = lim

y(x)

=

lim

−x2

= lim

−1

= 0

x

+ 4x + 4)

+ 4 +

4 / x

x→±∞

x→±∞ x(x2

x→±∞ x

b = lim

(y(x) −kx)= lim

−x2

= lim

−1

= −1

(1

+ 2 / x)2

x→±∞

x→±∞ (x + 2)2

x→±∞

y = −1 −праваяи левая асимптота 7)область значений

E( y) = (−∞; 0]

3_07_25_02

3 _ 08 _ 25 _ 01

y = −(2x +3)e2(x+2)

1)областьопределения: D( y) = R

2)четность, нечетность, периодичность

y(x) ≠ ±y(−x) функция ничетна, ни нечетна, непериодична

3)интервалы знакопостоянства

y = 0 x = −3 / 2;

y несуществует x

y(x) > 0 при x (−∞; −3 / 2)

y(x) < 0 при x (−3 / 2; ∞)

A(−3 / 2; 0)

4)интервалывозростания, убывания

y ' = −(2e2( x+2) +(2x +3)e2( x+2) 2)= −4e2( x+2) (x + 2)

y ' = 0 x = −2;

y ' несуществует x

y '(x) > 0 при x (−∞; −2) y(x) возростаетпри x (−∞; −2)

y '(x) < 0 при x (−2; ∞) y(x) убываетпри x и при x (−2;∞)

B(−2; y(−2)) −точка максимума

5)интервалывыпуклости, вогнутости

y '' = −4 (e2( x+2) 2 (x + 2) +e2( x+2) )= −4e2( x+2) (2x +5)

y '' = 0 x = −5 / 2;

y '' несуществует x

y ''(x) > 0 при x (−∞; −5 / 2) y(x) вогнутапри x (−∞; −5 / 2)

y ''(x) < 0 при x (−5 / 2; ∞) y(x) выпукла при x (−5 / 2; ∞)

C(−5 / 2; y(−5 / 2)) −точка перегиба

6)асимптоты

а)вертикальные: вертикальныхасимптотнет

б)наклонные

1)правая y = kx +b

k = lim

y(x)

= lim

−(2x +3)e2(x+2)

= lim

(−(2 +3 / x)e2(x+2) )= −∞ правой ассимптотынет

x

x→∞

x→∞

x

x

→∞

2) левая y = kx +b

k = lim

y(x)

= lim

−(2x +3)e2(x+2)

= lim

−(2 +3 / x)e2(x+2)

)

= 0

x

x

x→−∞

x→−∞

x→−∞ (

−2x −3

−2

b = lim

(y(x) −kx)= lim (−(2x +3)e

2(x+2)

)

= lim

= lim

= 0

e

−2 x−4

−2 x−4

(−2)

x→−∞

x→−∞

x→−∞

x→−∞ e

y = 0 − левая ассимптота 7)область значений

E( y) = (−∞;1]

3_08_25_02