Шпора (Word)

№1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.

Рассмотрим функцию определенную в окрестности т. , за исключением может быть самой т. . : Число называется пределом функции при , если , , т.ч. , (): (выполнено) .

Теорема: Если функция имеет в т. предел, то он единственен.

Доказательство. Пусть существуют и , для , . Тогда , , т.ч. , :

, т.е.

, т.е.

Т.к. - любое число, выберем (предполагаем ). Тогда:

, , т.е. . Такого быть не может, следовательно наше предположение не верно, т.е. .

Функция называется ограниченной на , если , , т.ч.

Теорема: Если функция имеет в т. предел, то она ограничена в этой т.

***

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Теорема (асимптотическое разложение функции, имеющей предел). Пусть . Тогда в окрестности т. , функция представима в виде: , где - б/м при .

Доказательство.

: , , т.ч. , :

: , , т.ч. , :

Следовательно, , по определению

№2. Свойства б/м функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Свойства:

1) - б/м при , - число: - б/м при

Пусть , тогда . Выберем , .

2) и б/м при , - тоже б/м при

Пусть, . Тогда , т.е. .

3) и б/м при , - тоже б/м при

Пусть , . Тогда , т.е.

4) - б/м при , a ограниченная - б/м при

Пусть , . Выберем , ,

Пусть существуют конечные пределы , . Тогда:

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е , .

,

Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .

Теорема (о переходе к пределу в неравенствах): Пусть существуют конечные пределы в некоторой окрестности т. , . Тогда: если , то .

Доказательство. , , тогда: ,

Теорема (о пределе промежуточной функции): Если в некоторой окрестности т. и , то .

Доказательство. Пусть , тогда по теореме о переходе к пределу в неравенствах: , ,

, ,

Следовательно, и .

№3. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Асимптотическое разложение непрерывной функции

Функция называется непрерывной в т. , если .

Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.

Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .

Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .

Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке

Доказательство.

Теорема: Пусть и непрерывны в т. , тогда , , () тоже непрерывны в этой точке.

Доказательство: основано на свойствах предела. Т.к. функция непрерывна, то .

Теорема (асимптотическое разложение непрерывной функции): Если функция непрерывна в т. , то в некоторой окрестности этой т., функция представима в виде: .

Доказательство. Рассмотрим . По теореме об асимптотическом разложении функции имеющей предел: . Т.к. функция непрерывна, то , т.е. .

№4. Эквивалентно бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б/м. Замена отношения б/м эквивалентными при вычислении пределов.

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Функции и называются эквивалентными б/м при , если и обозначаются .

Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы была б/м более высокого порядка чем и .

Доказательство.

Необходимость. Пусть , . По теореме об асимптотическом разложении , где - б/м при . Тогда, , . Рассмотрим , следовательно . Рассмотрим , .

Достаточность. Пусть , , , , , . Пусть , , , , , .

Таблица б/м

, , , , , , , , .

Теорема (о замене б/м на эквивалентные в отношениях): Пусть, эквивалентные б/м при . Тогда .

Доказательство. Рассмотрим . Тогда, .

№5. Сравнение б/м функций. Бесконечно большие функции, связь с б/м. Вертикальная асимптота графика.

Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .

Пусть и б/м при . Тогда:

Если , то называется б/м более высокого порядка чем , т.е. ("о малое").

Если (числу), то и называется б/м одного порядка, т.е. ("о большое").

Если , то и называются эквивалентными б/м и обозначаются .

Функция называется б/б в т. и обозначается , если , , т.ч. , : .

Теорема: Пусть б/б при , тогда , б/м при .

Доказательство.

, , т.ч. , : , , ,

, т.е. , , т.ч. , : .

Выберем , т.е. , б/м при .

Прямая на плоскости, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой графика.

Пусть б/б в т. , тогда прямая называется вертикальной асимптотой графика

№6. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

: Число называется односторонним пределом слева, если , , т.ч. , :

: Число называется односторонним пределом справа, если , , т.ч. , :