Шпора по высшей математике

Интегрирование - операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу фу-ции.

Неопределенный интеграл – общее выражение F(x)+C множества всех первообразных ф-ции для данной ф-ции f(x). Это совокупность всех первообразных F(x).

Основные св-ва:

Таблица неопределенных интегралов

Методы интегрирования:

1. интегрирование способом подстановки (введение нов. пременной)

2. интегрирование по частям

Пример:

3. разложения

Полезные правила:

Полезная формула:

Определенный интеграл – предел, к которому стремится сумма, когда наибольшая из длин всех частичных промежутков стремится к нулю.

Св-ва опред.интеграла:

Замена переменной в определенном интеграле:

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

Алгоритм

1. построить графики и выдел.точки их пересечений – вершины фигуры;

2. опустить из вершин перпендикуляры на ось OX и найти эти абсциссы

3. выделить элементарные фигуры и вычислить искомую площадь через их площади

Функция нескольких переменных - если каждой паре действит.чисел (x,y) из области D по определенному правилу ставится в соотв.только одно число Z, то говорят,что на мно-ве D задана ф-ция нескольких переменных.

Частной производной первого порядка ф-ции z=я(чбн) по аргументу x, наз. Производной этой ф-ции по x, при постоянном y.

Пример:

Частной производной высшего (второго) порядка наз. частные производные от производных первого порядка.

Дифференциальное уравнение – уравнение, связ.независимую переменную, неизвестную функцию и её производные различ.порядков.Это Ур-ие, сод.производные неизвестных ф-ии(или неск.ф-ций)

Если неизвестные ф-ции зависят от одного аргумента, то это обыкновенные диф.ур-ия, если от нескольких, то - диф.ур-ие с частными производными.

Общим решением диф.ур-ия наз.ф-ция вида:

, удовлетворяющая след.условиям:

1. при любом наборе постоянных С_i 1,2,3… n эта фун-ция явл.решением диф.ур-ния.

2. для любого решения ψ(x) существ.такие значения С₁₀, С₂₀, С₃₀,С_n0, что ψ(x)=φ(x, С₁₀, С₂₀, С₃₀,…С_n0)

Диф.ур-ие 1 пор.с раздел.перемен. – диф.ур-ие, в кот. путем преобразований переменные м.б.разделены.

Линейное однородное диф.ур-ие 2 пор.с постоян.коэфф. – Ур-ие вида , в кот.все члены имеют первую степень относ.ф-ции и её произв., а коэф. а₀,а₁,а₂ – постоянные.

Характеристическое ур-ие:

Общее решение имеет вид:

Строится общее решение в завис. От дискриминанта D квадратного ур-ия:

Вероятность случайного события – событие, которое может произойти, а может и не произойти.

m – число благоприятных исходов,а

N – общее число исходов

Сочетание – пусть есть n элементов. Сочетаниями наз. наборы (соединения), составленные из этих элементов по m элементов в каждом наборе, кот.отлич.хотя бы одним элементом.

Комбинаторика:

Множество – n элементов

1

Перестановка – упорядоченное множество

Сочетания – неупоряд. подмнож.данного множ.

Размещение – упорядоченное множ-во

Теоремы сложения вероятности:

Суммой 2 событий А и В назыв. соб. А+В, состоящее в повление или соб.А или соб.В. или обоих событий.

Для несовместных соб.А и В.

В общем случае:

Теорема умножения вероятностей

независимых событий:

2 события наз.несовместимыми, если вероятность одного из них не зависит от проявления или непроявл.др.

Произведение 2 соб.А и В наз.соб.АВ, состоящее в совместном появля этих соб.

Условная вероятность

Теорема умножения вероятностей ависимых событий

Условной вер. P_A(B) наз.вер.соб. B вычисленную в предположении, что соб. А уже поступило.

Вероятность совместного появл. 2-х завис.соб.равна произведению вер.одного из них на условн.вер.второго, т.е.

Полная вероятность:

Вероятность соб.А кот.может наступить лишь при появлении из несовместных соб. B₁,B₂…B_n? образ.полную группусоб.равно сумме произведений вероятностей каждого из этих соб.на соотв.условную вероятность соб.А т.е.