• Переменная величина – величина, которая принимает различные численные значения, в противном случае она называется постоянной. Перемен величины: x, y, z, u. постоянные:a, b, c. Множиство всех числовых занчений переменной величины наз обл измен этой переменной.(х=const, для всевозможн α есть отрезок [-1;1]). Упорядоченная переменная величина – когда и область изменения переменной x и порядок в котором она принемает свои значения Xn=1/n.

• Переменная y наз функцией х, если каждому знач х ставится определенное значение y. Область определения- множество чисел, для которых определены значения данной функции. Область значения – множество чисел, сост из всех занчений ф-ции.

• Свойства функции: 1)обл. определения F=y(x) 2)возрастание и убывание 3)пересечения с осями y(x)=0 4) четность и нечетность y(-x)=y(x) четн, y(-x)= -y(x) нечет 5)переодичность.

• Элементарные функции: y=x, y=kx, y=kx+b – линейные функции, график-прямая.

Y=x^2, y=ax^2 y=ax^2+bx+c – квадратичные функции. График – порабола обл опред-все действит числа. Y=x^k –степенные функции обл опр – все действитчисла. Y=x^-k=1/x – график – гипербола. Y=sin x , y=cos x – тригонометрические ф-ции график синусоида и косинусоида. Y=√x – обратная функция. Y=log(a)x – логарифмическая.

• Предел ф-ции: число b наз приделом ф-ции y=f(x) при х стремящимуся к a если для любого Е ≥ 0 cущ число δ(Е) ≥ 0 ткое что для всех х≠а удовл неравенству /х-а/≤δ вып неравенства /f(x)-b/≤Е (функция стремится к b при х стремящимуся к а)

Ф-ция наз бесконечно малой при х стремящимся к а(∞) если

lim f(x)= 0

если при

Х .Стремящимся к а (∞) f(x) стремится к ∞ то такая ф-ция наз

бесконечно

большой.

1. Ф-ция обратная по величине бесконечно большой есть бесконечно малая

Ф-ция f(x) обратная по величине бесконечно малой отлчной от 0 есть бесконечно большая т.е. lim f(x)=∞

• Основные теормы а приделах: Если сущ lim f(x) и lim g(x) то:

1. lim (f+g) = lim f + limg

2. lim (fg) = lim f ∙ lim g

3. lim (f/g) = lim f / lim g, lim(x) ≠0

4. lim c f(x) = c lim

5. lim (sinx/x)=1 – первый замечательный придел (х→0)

6. lim (1/x)=∞ (x→0)

7. lim (1/x)=0 (x→∞)

8. lim q^n=0 , /q/‹1 (x→∞)

9. lim √x = √a , a›0 (x→a)

10)lim c =c , c = const (x→a)

Большинство ф-ций яв непрерывными т. Е. при небольших изменениях аргумента х ф-ция y изменяется весьма мало и граф такой ф-ции будет сплошная непрерывная кривая, но при некоторых значених х ф-ция может нарушатся и граф прерываться.

• Приделы непрерывных функций: lim f(x) = f(X0) (x→x0) ↔ к непрерывным относятся все элементарные ф-ции в их обл определения, а также многочлены.

1. lim cos x = cos π/2=0 (x→π/2)

2. lim e^x-1 = e^1-1 =e^0=1 (x→1)

3. lim arcsin x = arcsin √2/2 = π/4 (x→1)

4. lim ln(x-2) = ln(3-2)=ln1= 0 (x→3)

5. lim F(u(x) = F(lim u(x) , F(u(x) – сложная ф-ция, (x→a)

• Раскрытие простейших неопределенностей: вида 0/0 функция есть отношение двух бесконечно малых ф-ций (х→а или ∞) lim f(x)=lim f(a) (x→a)

1. разложить на множители числит и знаменат и при наличии одинаковых множит стремящ к нулю дробь на них сократить.

2. Избавится от иррациональности в числители или знаменат и при наличии одинаковых бесконечно малых мнозит дробь на них сократить.

3. Исп первый замечат придел: lim (sin x/x)=1

Неопред вида ∞/∞ : когда ф-ция есть отношение двух бесконечнобольших ф-ций (х→∞,а)

1. при наличии многочленов делят почленно и числит и знам на старшую степень независемой переменной

2. предел и числителя и знамо пред пределами старшей степени и делят на числит и знам и на переем в старшей степени.

• Производная ф-ции – пусть ∆х приращение аргумента х тогда х+∆х новое значение аргумента , а ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x) – соответств приращение ф-ции f(x) ∆f(x)/∆x производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если таковой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Пусть ∆х→0, тогда lim ∆f(x)/ ∆x =f (x) наз производной f(x) в точке х. Если указ придел сущь то ф-ция наз диф в данной точеке х, если произв рана ∞, то такая ф-ция имеет бесконечную произв. Геометр смысл :f (x)=tg α- угол наклона касательной проведенной к кривой f(x) в точке х к положительному направлению оси Ох. Физический смысл: Пусть тело движется прямолинейно и закон его движения по времени задан уравнен s(t) тогда производная s(t) есть мнгновенная скорость в момент t т.е. v(t)=S (t).

• Основные правила дифф. Элементарные ф-ции: Пусть u  и v существуют тоесть их ф-ции диф. Дифференцирование любой функции ведется путем сведения дифференцирования данной функции с помощью свойств производных к дифференцированию некой преобразованной функции, составленной из табличных элементарных функций.

(u+v) = u + v 

(uv) = u v + v u – ф- ла Лейбница

(u/v) = u v-vu / v(квад) , v≠0

(cu) = cu , c = const

• Таблица производных основных элементарных функций :

№	y = f ( x )	y = f'( x )
1	y=c, где с = const	y'=(c)'=0
2	y=x^n	y'=n*x^n-1
3	y = logax	y'=1/(x*ln a)
4	y=ln x	y'=1/x
5	y=a^x	y'=a^x*ln(a)
6	y=e^x	y'=e^x
7	y=sin(x)	y'=cos(x)
8	y=cos(x)	y'=-sin(x

1.   где c - константа

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

  Производная:

(xⁿ)^’ = n x^n-11.

3. 9.

4. .

5.

(a^x)’ = a^x ln a

(lg a^x )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ (1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x²)

(arctg x)’ = 1/ (1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x²)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

10.  

• Производная сложной ф-ции: пусть y = f(u) где u = u(x) тесть y = f(u(x))- сложная ф-ция причем ф-ции f(u) и U(x) диффернцир тогда производная y (x) может быть найдена по ф-ле y (x) = fu (u(x)) ∙ u (x)

Уравнение касательной к графику ф-ции: y = f(x0) + f (x0) + (x-x0)

Cоставим ур касательной к параболе : y = 2x(кв)-6x+3 ; х0 = 1 ↔ y0 = -1 ;

y  = (2x(кв)-6х+3)=4х-6 ; y (x0)=y (1)=4-6=-2

y-(-1)=-2(x-1); y+1= - 2x+2; y=-2x+1.

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или больших ф-ций равен приделу отношения их производных (если придел сущ или равен ∞) Рассмотрим неопределенность вида 0/0 или ∞/∞. Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять отношение ф-ции отношением их производных т.е. если f1(x) и f2(x) одновременно стремятся к 0 или ∞ при х→а, ∞ то: lim f1(x)/f2(x) = lim f1 (x) / f2 (x) . Если последний придел сущь или равен ∞ то он равен искомому приделу. Если отношен произв также предст 0/0 или ∞/∞, то можно снова применять правило Лопиталя , если это полезно для получ результата.

Возрастание и убывание ф-ции. Возрастание и убывание ф-ции хорактерезутеся знаком ее производной если y  в некотором промежутке больше 0 то f(x) возрастает, если меньше 0 то ф-ция убывает.

Экстремумы ф-ции: Если f(x0) = 0 и нашлось такое число δ что все точки интервала

(x0-δ; х0+ δ) принадлежат области определения ф-ции и дя каждого х≠х0 из этого интервала f(x) › f(x0) то точка х0 наз точкой минимум, еслижи неравество будет равно

f(x) ‹ f(x0), то такая точка наз точкой максимума. Ф-ция может иметь экстремумы только в критич точках , но не в кажд Крит точке ф-ция имеет экстремум.

f (x0) = 0 или не существует то х0 – критич точка.

Достат условия экстремума:1) f (x0)›0 для х Є (а; х0) ; f (x0)‹0 для х Є (х0; b) ; f(x) непрерывна в т. х0 ↔ х0 точка максимума на (а;b) 2) f (x)‹0 для х Є (а;х0) ; f (x)›0 для х Є (х0; b) ; f(x) непрерывна в т. х0 ↔ х0 точка минимума на (a; b) . Точка в которой ф-ция непрерывна а произв меняет знак с – на + есть тчка минимума( для вогнутой кривой)

Выпуклость и вогнутость кривой: кривая наз выпуклой (вогнутой) в нектр промежутке , если она расположена ниже (выше) касательно, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Выпуклость и вогнутость ф-ции характеризуестся знаком второй производной если f  (x)‹ 0 то кривая выпукла , если же f  (x)›0, то кривая вогнута.

Точки перегиба кривой: Точкой перегиба кривой наз такая ее точка которая отделяет участок выпуклости от уч вогнутости. Теорема: Пусть f  (x0) =0 или не сущ и при переходе через точку х0 Є D(f) f  (x0) меняет знак , тогда точка кривой с обсциссой х0 есть точка перегиба. Правило отыскания точек перегиба:

1. находим f  (x)

2. опред нули и точки разрыва ( приравниваем к нулю)

3. разбиваем этими точками числ прямую на промежутки

4. методом проб находим знаки производной. ( сост спец табл).

Асимптоты кривой: Прямая наз асимптотой кривой если расстояние от точка кривой М(x;у) до этой прямой стремится к 0 при стремлении хотябы одной из координат Т. М к ∞

Правило нахожден асимптот:

1. если lim f(x) = ∞ то прямая явл вертикальной асимптотой кривой у= f(x)

2. если сущ приделы: К = lim f(x)/x (x→∞) и b= lim(f(x)-kx) то прямая у=kx+b явл наклонной асимптотой кривой f(x) при указанном стремлении к х .

3. в случае k=0 асимпт y=b наз горизонтальной.

Дифференциал ф-ции одной переменной: дифференциал – это линейная часть приращения ∆у ф-ции у=f(x) вызванного приращением ∆х аргумента х. dy=y (x)dx где dx = ∆x Геометрич смысл диф : при изображении ф-ции графиком в декартовых коорд dy изображается приращением, которое получает орданата касат к кривой в данной точке х при данном приращении dx

Неопределенный интеграл

Пусть –f(x)- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x)и обозначается. ∫f(x)dxОперация нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция, записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Основные св-ва неопр интеграла:

1. ∫(f(x)dx) = f(x)

2. d (∫f(x)dx) = f(x)dx

3. ∫dF(x)=F(x)+c или ∫F (x)dx= F(x)+c

4. ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

5. ∫cf(x)dx= c∫f(x)dx

Таблица основных интегралов:

Таблица Интегралов :

 xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

 a^x dx = ax/ln a + c

 e^x dx = e^x + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos² x = tg x + c

 1/sin² x = - ctg x + c

 1/(1-x²) dx = arcsin x +c

 1/(1-x²) dx = - arccos x +c

 1/1+ x² dx = arctg x + c

 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Методы интегрирования: замен переменной – часть подинтегральной ф-ции или вся замен новой переменной φ(х) = t , dx через t наход после диф обеих частей уравн замены

dφ=dt или φ х(dx) = dt если интеграл с новой переменной найден, то возвращаясь к прежней переменной х согласно Ур замены получим искомый интеграл .

полезные правила: 1) пусть ∫ f(x)dx = F(x)+c где F(x) первоообр для f(x) , тогда ∫ f(kx+b)dx = 1/k ∙ F(kx +b)+c 2) ∫ φ (х)dx / φ(x) = ∫ d(φ(x)) / φ(x)= ln │φ(x)│+c

4. cв-ва инвариантности: пусть ∫ f(x)dx = F(x) + c тогда ∫ f(u)du = F(u)+c где u= u(x) пример: ∫ e^x(кв) d(x кв) = f e^u du = e^u + c=e^x(кв) +с

5. метод приоблразования интегралов : суть этого метода сост в том что диф преобразуется так чтобы под его знаком была часть или вся подинтегральная ф-ция .

Определенный интеграл:

Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом ∫ (опрде a;b) f(x)dx=F(x)+C; ∫ (опрде a;b) f(x)dx=F(b)-F(a) – ф-ла Ньютона – Лейбница. Геометр смысл:определение площади плоской фигуры. Эта задача, точнее ее решение с помощью определенного интеграла, напрямую вытекает из того, как вводится понятие определенного интеграла в высшей математике.При этом основываются на двух краеугольных положениях теории площадей:Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна сумме площадей этих фигур. Площадь прямоугольника равна произведению его измерений. смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, пределами интегрирования и графиком подынтегральной функции.

Основные св-ва определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл сохраняет свое абсолютное значение, но меняет знак на противоположный

2. При разбиении промежутка интегрирования исходный интеграл равен сумме интегралов по новым промежуткам интегрирования

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:

Вычисление определенного интеграла:

1. методом замены переменной: данный интеграл с помощью замены φ(x)=t преобраз в другой опр инт с новой переменной t причем старые приделы инт (х1=а; х2=b) замен. Новыми приделами t1=φ(a), t2=φ(b)

2. Метод прямоугольников: используется геометрическая интерпретация определенного интеграла  как площади под кривой. Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подинтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников.

3. С помощь ф-лы Ньютона – Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям a≤x≤b.Формула Ньютона-Лейбница позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению уже знакомого нам неопределенного с последующей подстановкой пределов интегрирования

Вычисление полощади фигуры с пом опр инт:Рассмотрим площадь криволинейной трапеции, т.е. площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком непрерывной функции f(x) и прямыми - x = a, x = b. Разобьем интервал [a,b] на частичные интервалы некоторыми точками x_i. На этих новых интервалах построим прямоугольники, каждый с выстой, равной значению функции в точке разбиения. Тогда площадь каждого такого прямоугольника равна:S_i = f(x_i)-dx_i где dx_i = x_i+1-x_i-1

Площадь образовавшейся ступенчатой фигуры S_n будем считать приближенным значением искомой площади криволинейной трапеции S. При этом учтем, что чем меньше будут диаметры разбиения (т.е. чем чаще мы будем ставить точки разбиения и чем меньше будут значения dx - длин интервалов разбиения), то тем более точным будет соответствие площади ступенчатой фигуры площади криволинейной трапеции.Математики при этом записывают следующую последовательность формул:

a = x₀≤x₁≤...≤x_i≤...≤x_n-1≤x_n = b

Последнее выражение называют интегральными сумами.А, как мы уже сказали, при стремлении диаметра разбиения к нулю, площадь ступенчатой фигуры, (которая как раз и вычисляется как интегральная сумма) будет равна точному значению площади криволинейной трапеции, т.е.:

Но в отличие от нашего, достаточно упрощенного определения определенного интеграла, в высшей математике, понятие определенного интеграла вводится именно в результате вышеприведенных рассуждений следующим образом:Определенным интегралом называется предел, к которому стремитсяn-яинтегральная сумма при стремлении диаметра разбиения к нулю.

Таким образом геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, пределами интегрирования и графиком подынтегральной функ

Ф-ция нескольких переменных: Если каждой паре действ числ (х; у) из обл D по опр правилу ставится в соответств только одно число Z из обл Е то говорят, что на множество D задана ф-ция двух переменных Z=X(x,y) пример : Z=x(кв)-у / x(куб)+5у(кв) ; в Т. М(1; -1) ; Z=√(1- х(кв) – у(кв)) если покор выр не отриц. Частные производные: Из определения след, что на момент диф ф-ция Z яв ф-цией одной переменной и ↔ при нахождении частных произв справедливы обычные правила и ф-лы диф ф-ции одной переменной : X x=1 X y=0; Y y=1 Y x=0; ℮x =0 C y=0. Экстремумы: экстр могут служить только критические точки из об опред ф-ции в которых все ее частные производн 1-го пораядка обращ в ноль или не сущ хотябы на одной из них . Выделить критич точки позв дост условия эжкстремума:1) точками экстр яв лиш тез критич точек в окрест которых приращения ф-ции ∆Z(x;y) – Z(a;b) не меняет знака приэтом если ∆Z›0 или меньшето критич точка есть точка минимума(максимума). 2) Рассмотрим в Крит точке М(а;b) дискриминант ∆Z=AC-b(кв) где А=Z  xx (a;b) С= Z  уу (a;b), B= Z  xy(ab) или B= Z  yx(ab) тогда 1) если ∆›0 то М(а;b) точка минимума и максимума при А‹0 2) если ∆‹0 то в Т. М экстр нет.3)если ∆=0 то это треб доп исслед.

Диф уравнения. Решение: Дифференциальное уравнение называется соотношение вида связывающее независимую переменную х, ее ф-цию у, а также производные этой функции до н-го порядка включительно. если в уравнении 1 входит одна независимая переменная, то такое диф. ур. называется обыкновенным, если в уравнение 1 входит несколько независимых переменных, то такое диф. ур. называется уравнение в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. Решением диф уравнения наз ф-ция у=у(х) удовлет этому уравнению. Нахождением этого решения наз интегрированием этого Ур. Общий интеграл диф Ур х+уу=0 имеет вид х(кв)+у(кв) = С найти его частн инт удв нач условию у(-3)=4.Найдем значение С соответсв искомому частному интегралу подстав в обз интеграл заданное нач условие, тогда (-3)^2 + 4^2 = С ↔ С=25 подставим С в общ инт х(кв)+у(кв) = 25 это и есть искомый частн интеграл.

Дифф Ур 1-го порядка с раздел переменной: такие Ур имеют вид: М1(х) ∙ N1(y)dx + M2(x) ∙ N2(y)dy=0 характ чертой этих ур яв то что множители стоящие перед dx и dу зависят только от одной переменной, Для решения ур разделим переменные х и у по своим слагаемым для этого подлим обе части ун на произв N1(x) ∙ M2(y) ≠0 дале что можно сокращаем, а затем делаем почленное интегрир обоих частей. Зада́ча Коши́ - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, т. е. непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных

Линейн. Однород Ур второго порядка с пост коэф.: это Ур содержащее независимую переменную, функцию , а также первую и вторую производную. это Ур вида : а0 у  + а1 у  + а2 у =0 Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Зада́ча Коши́ - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

5. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

6. Если решение существует, то какова область его существования?

7. Является ли решение единственным?

8. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, т. е. непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных

Вероятность случайного события: Вероятность-мера объективной возможности наступления определенного события в определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.Пусть некоторое испытание произведено раз и в результате этого связанное с ним случайное событие (обозначим его через А) произошло раз. Тогда относительной частотой μ(А) случайного события А, назовем отношение к . Другими словами. μ(А) = k/n (Для многих случайных событий относительная частота обладает свойством устойчивости, то есть в различных длинных серия испытаний относительные частоты одного и того же случайного события мало отличаются друг от друга. Случайные события, относительные частоты которых, обладают свойством устойчивости, называются регулярными. Пример. Баскетболист А из некоторого положения попал в кольцо 4 раза при 11 бросках. Баскетболист В из этого же положения – 6 раз при 18 бросках. Какому из игроков доверить выполнение штрафного удара из этого положения?Решение. Найдем относительные частоты попадания в кольцо этими игроками:, μ(А)=4/11 μ(B)=6/18 . Так как 6/18=1/3=4/12 ‹ 4/11 , то выполнение штрафного лучше доверить игроку А. Если относительная частота больше, то больше и уверенность в успехе. P(A)=m/n – ф-ла классич вероятн если событие инициируется одним из m элементарных исходов по n