Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”. Факториалом натуральных чисел n называют произведение последовательных чисел от 1 до n.

Перестановки – это комбинации из n-элементов, отличающихся только порядком следования (P_n=n!=1·2·3·…·n). Размещения из n-элементов по m-элементам – это комбинации, отличающиеся или составом, или порядком следования элементов (A^m_n=n(n-1) ·(n-2) ·…·(n-m+1)). Сочетания из n-элементов по m-элементам – это комбинация, отличающаяся хотя бы одним элементом (C^m_n=_m!·(n-m)!^n!). В сочетании порядок элементов не учитывается. Факториал – произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Предмет теории вероятности. Случайное событие. Основные понятия теории вероятности.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Случайное событие – такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному. Достоверное событие – это событие, которое в результате опыта непременно должно произойти. Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не может произойти, т.е. вероятность такого события =0. Равновозможные события – если наступление одного события не более возможно наступления другого. Несколько событий образуют полную группу, если в результате появилось хотя бы одно из них. Несовместные, если появление одного исключает появление другого в данном опыте.

Понятие о статистической и геометрической вероятности.

Каждое событие, связанное с массой однородных опытов, имеет определенную вероятность, заключенную между 0 и 1. Если произведена серия из n опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие, то частотой события в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие к общему числу произведенных опытов. Частоту события называют статистической вероятностью (W(A)=^m_n, где m – число опытов, в которых событие произошло; n – общее число опытов). Геометрическая вероятность – Р(А)=^{мера g}/_{мера G}.

Алгебра событий. Сумма событий, противоположные события, сумма нескольких событий, произведение событий.

Для определения вероятности того или иного события применяются алгебраические действия, что позволяет упростить форму записей, облегчает вычисления. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В или обоих вместе (С=А+В). Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Противоположные события - если два события несовместимы и в результате произойдет только одно из них. При определении вероятности часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема сложения и умножения вероятностей.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А (Р(А/В)). Теорема сложения вероятностей – вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (Р(А+В)=Р(А)+Р(В)). Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и В совместные, вероятность суммы этих событий выражается формулой Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В). Противоположными событиями называются два несовместных события. Сумма вероятностей противоположных событий =1. Теорема умножения вероятностей – вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого (Р(А·В)=Р(А) ·Р(В/А)). Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.