Сравнен. Б/малых и б/больших вел.

б.мал. и б/бол. вел. сравн. путем нахожд. пред. их отнош.

опр.: если  и  - б/мал. и пред. их отнош. lim/=0, то -б/мал. более выс. пор., чем . =o() или ||<<||

опр.: если  и  - б/мал. и lim/=a(a0,a) то  и  - один. пор.

=O()

опр.: если А и В – б/бол. и lim/=0, то А – более низ. пор. чем В

А=o(B)

опр.: если А и В – б/бол. и lim/=, то В – более низ. пор. чем А

B=o(A)

опр.: если А и В – б/бол. и lim/=a (a0,a), то А и В – б/бол. одинак. пор. A=O (B)

опр.: если  и  - б/мал. одног пор. и lim/=1, то  и  - эквивал.

опр.: если  и  - б/мал. и lim/^k, где k>0 =а (a0,a), то  k-того пор. относит. .

Табл. некот. б/мал. эквивал. вел.

	
sinx sinkx tgx tgkx arcsinx arcsinkx arctgkx ln(1+x)	x kx x kx x kx kx x

Свойства б/мал. вел.:

1) св-во симметр.: если  и  - эквивал б/мал. то ~

2) если  и  - эквив. б/мал. то , где o(),o()

Док-во:  и  - эквив. б/мал.  /=1

3) если ~₁, ~₁, то

При нахожд. пред. б/мал. сомножит. можно замен. ему эквив.:

Опред. произв. Геом., мех. смысл.

Дано: y=f(x) xD; x,Δx – приращ. незав. перем. ; (x+Δx)D

Δf=Δy=f(x+Δx)-f(x) приращ. ф-ии

Δf/Δx=v_ср - произв. ф-ии в точке

Произв. ф-ии в т. – это пред. отнош. приращ. ф-ии к приращ. аргум. когда последн. стрем. к 0. обозн.: y’(x)=dy/dx

Геом. смысл:

опр.: касат. к граф. ф-ии y=f(x) в дан. т. назыв. предельное полож. секущ. когда Δx→0

y

’(x)=tg  - угол, состав. касат. с полож. напр. оси х.

M(x,fx)

M₁(x+Δx,f(x+Δx))

MK=Δx

ΔMKM₁ – прямоуг.

tg=Δf/Δx

ур-е кас.: Y-f(x)=f’(x)(X-x)

(X,Y) – тек. коор. кас.

Прям., перпен. кас. наз. нормалью.

k₁=-1/k₂ - угл. коэф. кас. k₂=-1/f’(x)

Ур-е номр.: Y-f(x)=-1/f’(x)(X-x)

Мех. смысл: Произв. в дан. т. это мгновенная скор. измен. ф-ии

y’(x)=v

правостор. произв.:

левостор. произв.:

Говор., что произв. в т. сущ., если сущ. левост. и правост. произ. и они равны друг другу.

Теор.: если ф-ия в т. дифференц. в т., то она непрер. Обрат. невер.

Док-во:

На осн. опр. пред. имеем: Δf/Δx=y’(x)+ -б/мал.

Δf=y’(x)Δx+Δx

ф-ия непрер.

y=|x| - непрер. хR, но при х=0 ф-ия недифференц.

Произв. слож. ф-ии. Прав. диф.. Табл. произ. нек. эл. ф-ий.

y=f((x)) xD =(x) E₁ f зад. на Е₁

Теор.: если хD (x) – дифферен. и Е₁ – дифферен. по , то  y’(x)=df/dd/dx

Док-во:

заметим, что при Δx→0 Δ→0

_{по т. о пред. произ.}

замеч.: если число промеж. аргум. больше и все они подчин. усл. теор. то в ф-ле больше сомножит.

Правила диф-я:

1. С’=0 т.к. ΔС=0

2. (U±V)’=U’±V’

3. (UV)’=U’V+UV’

4. (CU)’=CU’

5. (U/V)’=U’V-UV’/V²

Гиперб. ф-ии: y=chx=e^x+e^-x/2; y=shx=e^x-e^-x/2; y=thx=

y=cthx =

ch²x-sh²x=1

Произ. обр. ф-ии, произв. ф-ии зад. неявно.

y=f(x) – прям. ф-ия xD yE

Гов., что ф-ия обр. если: x=(y) yD, xE₁

Теор.: если x(a,b) D ф-ия y=f(x) – монотонна, то для нее сущ. обрат. и притом единств. x=(y)

напр. y=a^x обр.: y=log_ab

Теор.: если y=y(x) и x=x(y) взаимообрат. , то y’(x)=1/x’(y)

Док-во: по опр.:

Т.к. y’ – диф-ма, то при Δx→0 Δy→0

Прав. нахожд. ф-ии зад. неявно: Ур-е f(x,y)=0 диф-ем по х лев. и прав. часть, считая, что «у» - промеж. аргум. При это прим. прав. диф-я слож. ф-ии. Из получ. рав-ва наход. y’ как ф-ию х и у.

Предварит. логарифм-е.

lny=(x)ln(x) y зад. неявно

(lny)’=(ln)’

y’/y=’ln+’/ => y’=^[’ln+’/]

Метод предв. логарфм. удобно прим. для нахожд. произв. ф-ий представ. собой произвед. бол. числа сомнож.

Произв. ф-ии, зад. параметр-ки.

дано: tD – параметр

x(t), y(t) – диф-мы по t. x(t) имеет обрат. t=t(x)

y=y(t)=y(t(x)) t(x) – промеж. аргум.

На осн. t’_x=1/x’_t имеем:

Произв. высш. порядков.

Произ. ф-ии есть нов. ф-ия

y=f(x) xD

y’=f(x) xD₁

Произв. от 1-й произ. наз. произв. 2 пор.

(y’)’=y’’=d²y/dx²=y⁽²⁾

опр.: произв. n-ного пор. – это произ. от (n-1)-й произв.

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’ y⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ

Произв. высш. пор. для ф-ий зад. порядков.

Дано: f(x,y)=0 задает y=y(x)

Данное Ур-е надо диф-вать столько раз, каков пор. дан. произв.

Произв. высш. пор. для ф-ий, зад. параметр-ки.

знаем:

Найдем y’’. Заемтим, что y’_x=f(t), поэтому имеем:

(y’_x)’_x=y’’_xx=(y’_x)’_t/x’_t=f₂(t) и т.д.

Диф-ал ф-ии. Геом. смысл, св-ва, прим. в приближ выч.

Δy=y’(x)Δx+αΔx

опр.: dy=y'(x)·Δx

заметим, что диф-ал явный.

f(x,Δx)

y=x, то dy=dx=Δx

dy=y’(x)·dx

tgα=y’(x)

M₁(x+Δx, y+Δy)

M₁M₂=Δy

M₂M₃/MM₂=M₂M₃/Δx=y’(x)

dy равен приращ. касат.

СВОЙСТВА:

1) dC=0 C’=0

2) d(U±V)=dU±dV

3) d(UV)=dUV+UdV

4) d(U/V)=(VdU-UdV)/V²

5) если x=x(t) то Δx≠x’(t)·Δt

dy=y’(x)·dx св-во инвариантности

y=f(x(t))

dy/dt=df/dx·dx/dt |dt

dt=Δt

dy=df/dx·dx

Δy=y’(x)·Δx+αΔx

Δy=f(x+Δx)-f(x)

при Δx→0 Δy≈dy(x;Δx)

f(x+Δx)=f(x)+ Δy≈f(x)+df(x;Δx)

f(x+Δx)≈f(x)+df(x;Δx)

Диф-алы высш. пор.

dy = f’(x)·dx - a-bz зависящ. от х

опр.: d второго пор. – d от d первого пор.: d(dy)=d²y

Найдем ф-лу для d²:

если х - незав. перем. dx=Δx

d²y=d(d(y))=d(y’(x)·dx)=dxy’(x)·dx=y⁽²⁾x·(dx)²

если х – завис. перем. x=x(t)

d²(y)=d(y’(x)·dx)=dx·d(y’(x))+y’(x)·d(dx)=y’’(x)(dx)²+y’(x)·d²x

аналогично для 3 пор.:

d³y=d(d²y)=d(d(d(y)))

если х – независ.: d(y^’’(x)(dx)²)=y’’’(x)(dx)³ и т.д. dⁿy=d(d^n-1y)

если х – независ. перем.: f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ

Т. Ролля, Лагранжа, Коши

Т.Ролля – о корн. произв.

если y=f*x( непрер. для x[a,b], дифф-ма x(a,b), f(a)=f(b)=0, тогда  хотя бы одно знач. x=c(a,b) такое что f’(c)=0

По т. Вейерштрасса: если ф-ия непрер. на отр. она достигает своего min и max.

f(x) дост. M и m

M≠m M>0

x=c(a,b) f(c)=M

x=с

f'(c)=? Δf=f(c+Δx)-f(c)<0

если Δx<0 то Δf/Δx≥0

если Δx>0 то Δf/Δx≤0 если ф-ия разрывна хотя бы в одной т., то теор. невыполнима.

Теор. Лагранжа: (о конечн. приращениях)

если y=f(x) непрер. x[a,b] дифф-ма x(a,b) f(a)≠f(b) тогда  хотя бы одно с при кот. f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) где с(a,b)

A(a,f(a))

B(b,f(b))

f’(c)=f(b)-f(a)/(b-a)

Док-во: с можно написать след. образ.:

с=ф+₁(b-a) где ₁ – прав. дробь

обозначим f(b)-f(a)/(b-a)=

вспом. дробь: F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)

ур-е секущ.: (A,B) y-f(a)=(x-a)

F удовл. усл. т. Роля: F(a)=0 F(b)=0 тогда  хотя бы одно x=c(a,b) где F’(c)=0

F’(x)=f’(x)-

F’(c)=0=f’(c)-

f’(c)==f(b)-f(a)/(b-a)

когда f(b)=f(a) т.Лагр. дает т.Ролля как частн. случ.

зам.: если имеет место т.Лагр. на [a,x] тогда:

f(x)=f(a)+f’(a+₁(x-a))(x-a)

Теор. Коши: (о приращ. 2 ф-ий): если y₁=f(x) и y₂=(x) непрерыв. для x[a,b] дифф-мы x(a,b) причем ’(x)≠0 x(a,b) тогда  хотя бы 1 x=c(a,b) такое что вып.:

Для док-ва сост. всп. ф-ию: F(x)=f(x)-f(a)-((x)-(a))

=f(b)-f(a)/(b)-(a) F(a)=0 F(b)=0 x=с F’(c)=0=f’(c)-·’(c)

Прав. Лапиталя-Бернулли. Раскр. неопред.

Т. №1: дано: y=(x), y=f(x) x[,]

x=a  (,)  и f удовл. усл. т. Коши

(a)=f(a)=0

если  то  и они равны друг другу.

замеч.: если не сущ. то отсюда не след. отсутствие

если при прим. т. 1 окаж. что f’(x) и (х) удовл. усл. перв. теор. то теор. сраб. еще раз., т.е. прав. Л-Б можно прим. неоднокр.

зам.: теор. 1 имеет место если a=

Т.№2: если для б/бол ф-ий при x→a в окрест. т. x=a выпол. усл. т. Коши то если  то  и они равны друг другу. Все замеч. к т.1 справед. к т.2

Для раскрыт. неопред. «0»

или или

Для раскрыт. неопред. «-»

надо отдельно найти если он 1, то в исходном примере ответ =

Если же =1, то будем иметь неопр. 0, с ней пост. как в пред. случ.

Для раскрыт. неопред. 1^, 0⁰, ⁰ надо пров. предв. логар. и если  лог. лимита то можно найти исход. лимит. Пусть:

и

находим прологарифмируем:

- рассм. выше

Ф-ла Тейлора для нахожд. многочл.

ф-ла Тейлора: при x₀=0 – ф-ла Маклорена:

Прим. произв. к иссл. повед. ф-ии

y=f(x)

монотон-ть – либо возр. либо убыв. ф-ии на числ. оси, на интерв.

опр.: если для x₁,x₂D x₁<x₂ выпол. усл. f(x₁)<f(x₂) ф-ия возр.

опр.: если для x₁,x₂D x₁>x₂ выпол. усл. f(x₁)>f(x₂) ф-ия убыв.

если для x(a,b) y(x)  и >0 то y=f(x) возр. на (a,b)

если для x(a,b) y(x)  и <0 то y=f(x) убыв. на (a,b)

опр.: т. x=x₀ D вместе со своей окрест. наз. т. max если для x окрестн. f(x₀)>f(x)

опр.: т. x=x₀ D вместе со своей окрест. наз. т. min если для x окрестн. f(x₀)<f(x)

Теор.: если ф-ия y=f(x) непрер-но диф-ма в т. x=x₀ D вместе со своей окрест. и f(x₀) – max (или f(x₀)-min) то y’(x₀)=0

f’(x₀)=0 – необх. усл. экстрем.

опр.: т. x=x₀, где f’(x₀)=0 наз. стацион. т. ф-ии

зам.: при x=x₀D вместе со своей окрест. ф-ия имеет max или min, а конеч. произв. не сущ.

опр.: т., в кот. f’ или не сущ или =± наз. критич.

Достат. усл. экстр.:

если в стац. или крит. т. произв. меняет знак то экстр. есть, иначе его нет.

Иссл-е на экстр. с пом. произв. 2 и стар. пор.

пусть x=x₀ D вместе со своей окрест. причем f’(x₀)=0 и f’’(x₀)0

теор.: если при сформ. услов-х f’’(x₀)<0 то f(x₀)=max ф-ии. Если f’’(x₀)>0 то f(x₀)=min

По ф-ле Тейлора: f(x)-f(x₀)

если f’’(x₀)<0 то f(x)-f(x₀)<0 => f(x₀)>f(x) f(x₀)=max

правило: если первая отлич от «0» произв. четн. пор., т.е. (к+1)=2l то экстрем. есть, причем f^(k+1)(x₀)>0, f(x₀)=min

если же f^(k+1)(x₀)<0 то f(x₀)=max

Если f^(k+1)(x₀) – нечетн. пор., т.е. (k+1)=2l+1? то экстремума нет.

Выпук-ть, вогн-ть, т. перегиба.

опр.: ф-ия y=f(x) при x=x₀ D со своей нек. окрест. наз. выпуклой в т. x₀ и ее окресн. если все ее знач. орд/ < знач. орд. кас. в дан. т.

опр.: т., в кот. крив. меняет напр. выпук-ти наз. т. перегиба.

Заметим, что в т. перегиба касат-я перех. с одной стор. на другую.

Теор.: если ф-ия y=f(x) непрер. дифф-ма вплоть до 2 произв. включит-но для x(a,b) то крив выпукла вверх.

Док-во: x0(a,b)

ур-е кас.: Y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀) Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)

сост. разн. знач. ординат ф-ий и орд. касат.

f(x)-f(x₀)-f’(x₀)(x-x₀)=_{рассм. по т. Лагранжа} x>x₀=f’(c)(x-x₀)-f’(x₀)(x-x₀)=(f’(c)-f’(x₀))(x-x₀)=[x₀<c<x]=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀)<0

x₀<c₁<c

c-x₀>0

x-x₀>0

f’’(c₁)<0 => ф-ия вып. вверх

Для x<x₀ док-во аналог.

если в усл. пред. теор. f’’(x)>0 x(a,b) то крив. на (a,b) вогнута.

Док-во аналогично.

Теор.: если в т. x=x₀ D f’’(x₀)=0 (или не ) и при перех. аргум. через x=x₀ слева направо f’’(x) меняет знак, то x=x₀ – абсцисса т. перегиба.

Док-во: если при x<x₀ f’’(x)<0 => выпукла вверх

если при x>x₀ f’’(x)>0 => выпукла вверх

по опр.: x=x₀ – абсцисса т. перегиба.