Асимптоты.

Говорят, что т. по крив. удал. в бескон. если ее расст. от нач. коорд. стрем. к бескон-ти.

Асимпт. граф. – линия такая, что при удал. т. по крив. в бескон. расст. между точками. этой лин. и точками граф. стрем. к «0».

Различают: вертикальн., горизонт., наклонные (правая, левая).

Вертикальная асимптота

если то x=x₀ ур-е верт. асимпт.

верт. асимп. сущ. там, где разрывы 2 рода.

Горизонтальная асимптота (правая, левая)

если то y=b ур-е прав. гор. асимпт.

то y=с - ур-е лев. гор. асимпт.

Наклонная асимптота

предположим y=kx+b прав. (x→+) наклон. асимптота для y=f(x)

=f(x)-kx-b→0

при x→

/x=f(x)/x-k-b/x→0

/x→0 b/x→0

(f(x)/x-k) →0 при x→

=>

если k  то

Итак, если  конеч. k и b, то  асимптота, и наоборот. Для лев. накл. асимпт. ф-лы те же, но x→-.

Общ. план. иссл. ф-ий и постр. графиков.

1. обл. D

2. если есть т. разрыва - исслед. их

3. отв. на вопр. о налич. периода

4. провер. на четн./нечетн./общ. полож.

5. исслед. на монотон-ть и экстремумы

6. исслед. на выпукл./вогнут-ть, т. перегиба

7. исслед. на асимптоты

8. найти нули ф-ии

9. исслед. на интерв. знакопостоянства

10. постр. график

Первообразная. Неопред. интегр. и его св-ва.

опр.: для ф-ии y=f(x), где x[a,b] ф-ия F(x) назыв. первообразн., если x[a,b] F’(x)=f(x)

Поскольку F(x) – дифф-ма, то она непрер-на.

Теор.: если F₁(x) и F₂(x) – нек. превообразные для f(x), то они отлич. на константу.

Док-во: F₁(x)-F₂(x)=(x)

на отр. [a,x][a,b] запишем для (x) т. Лагранжа: (x)- (a)= ’(x)(x-a) , но ’(x)=(F₁(x)-F₂(x))’=f(x)-f(x)=0 => (x)= (a)=const

опр.: неопред. интегралом для f(x) назыв. совокуп. всех первообр.

где xD F’(x)=f(x)

f(x)-подынтегр. ф-ия; x-перем. интегр.; f(x)dx-подынтегр. выраж.

СВОЙСТВА:

1)

2)

3)

4)

5)

Теор. сущ. неопред. интегр.: если f(x) непрерывна для xD,то неопред. интегр.  в этой обл. D.

C геом. точки зрен. неопред. интегр. – это семейство ф-ий, сдвинутых по оси ординат на константу.

Замена перемен. в неопред. интегр.

x - перемен. интергрир.

t – перемен. интегрир.

Теор.: если x=x(t) – непрер-но диф-мая ф-ия, допуск. обрат. и:

то ф-ла доказ. прост. диф-ем

На осн. этой теор.: вид первообраз. не завис. от вида перем. интегрир.

замеч.: находя первооб. всегда надо помн., что она должна быть непрер., т.к. она диф-ма в кажд. т. обл. определ.

Метод интегрир. по частям.

dUV=VdU+UdV проинтегрируем:

ф-ла и. по ч.

если в подынт. выр. считаем U на dV то, зная dV можно найти V как также можно найти dU как U:dx и благод. ф-ле перейти от выраж. к

1)

за U прин. многочл., а за dV – все остальное. Т.к. при диф-ии степ. многочл. пониж. то V легко найти.

зам.: метод ИПЧ можно прим. в 1 прим. столько раз ск-ко нужно.

2)

за U прин. либо log_ax, либо arcsinax/arccosax/arctgax/arcctgax

за dV – P_n(x)dx

3) вычисл. циклич. интегралов

4) примен. мет. ИПЧ к выводу рекуррентных соотнош.:

nN, n2

из этой ф-лы ясно, что I₂=I₁₊₁ I₃=I₂₊₁ и т.д.

Интегриров. рац. дробей.

- рац. дробь

если m<n – то дробь правильная

если mn – то дробь неправильная

Теор.: всякая прав. рац. дробь представима в виде суммы простейш. дробей 4 типов (без док-ва):

1)

2) 3)

p²-4q<0

алгоритм:

1. в числителе выделить производную квадрат. трехчлена

2. разбить на два интеграла

3. свести 1 инт. к табличн. по перемен. (x²+px+q)

4. во 2 инт. выдели в квадр. трехчлене полн. квадр, записать результат по таблич. ф-ле по перемен. x+p/2

4)

осн. теор. алг.: всяк. многочл. n-й степ. имеет ровно n корней. (Гаусс)

Интегрир. нек. иррац. ф-ий.

1) l_i, m_i N i=

x=tⁿ dx=nt^n-1dt

n=НОК

2)

n=НОК

3)

1)

2)

3) m – параметр t – новая переменная

Тригонометрические подстановки для интегралов вида:

1)

x=asint или x=accost

dx=acosdt dx=-sintdt

2)

x=atgt или x=actgt

dx=adt/cos²t dx=-adt/sin²t

3)

x=a/cost=asect x=a/sint=acosect

Неберущ. интегралы.

неберущ. – неберущиеся в виде конечн. числа эл. ф-ии

Для т.н. интегр-в от диференц-ых биномов

взять инт. можно только в 3 случ. (док. Чебышев):

1. p - целое число

2. – целое число

3. - целое число

взять нельзя

если x²=t x=

показательная интегральная ф-ия:

эллиптические интегралы:

1 рода:

и т.д.

Общ. опред. ф-ии многих переменных.

Обл. опред. ф-ии n-перемен. назыв. совокупность точек Rⁿ, для кот. ф-ия имеет смысл.

Говорят, что в D задана числов. ф-ия n-переменных f(M) если по з-ну f(M) кажд. т. MD поставл. в соответств. число yE – обл. знач. y=f(x)

Бывает, что ф-ии нес-ких перем. зад. с пом. описан., граф., табл.

Ф-ии 2 перемен.:

z=f(x,y) DR²

z=f(x₁,x₂) т. M(x,y)

y=y(x₁,x₂) D - совокуп. точек пл-ти

Геом. образ. ф-ии 2 перем. – пов-ть в R³

опр.: т. M наз. внутренней т. обл., если она сама и нек. ее окрест. принадлеж. D полностью. Обл. D наз. замкнут. если ей принадл. все внутр. т. границы, в противном случае – обл. D открытая.

Ф-ия 3 перемен.:

u=f(x,y,z)

u=f(x₁,x₂,x₃)

обл. опред. – это совокуп. т. в R³. Граф. интерпретац. отсутств.

опр.: частичн. приращ. ф-ии: Δ_xif=f(x₁,x₂…x_i+Δx_i, x_i+1…x_n)-f(x₁, x₂…x_i, x_i+1…x_n)

опр.: полн. приращ. ф-ии: Δf=f(x₁+Δx₁, x₂+Δx₂… x_n+Δx_n)-f(x₁, x₂…x_n). Ясно, что

Говорят, что т. M⁰DRⁿ если для нее вып. нерав-во :

опр.: число А наз. если  >0  >0 что как только |MM₀|< буде вып. нерав-во |f(M)-A|<

M→M₀ x₁→x₁⁰ x₂→x₂⁰ x_n→x_n⁰

опр.: ф-ия f(M₀) наз. непрер. в т. М₀ если:

1. ф-ия опред. в т. М₀

2.  и

как и у ф-ий 1 перем. можно говор. о т. разр. – в кот. наруш. усл. непрер. По аналогии с ф-ей 1 перем. имеет место определение:

Ф-ия непрер. если:

Св-ва ф-ий непрер. на замкн. множ-ве:

1) непрер. ф-ия на замк. множ. достиг. своего наиб. М и наим. m.

2) если М-наиб., m- наим. знач. ф-ии на замкн. множ. D то  μ, удовл. нер-ву m<μ<M,  хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=μ

3) о корнях непрер. ф-ии: если M>0, m<0 то  хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=0

для ф-ии 2 перем.:

опр.: линией уров. для ф-ии zx=f(x,y) наз. линия в пл-ти XOY во всех т. кот.знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y)=C

для ф-ии 3 перем. гов. о пов-ти уров.: пов-тью уров. для ф-ии u=f(x,y,z) наз. пов-ть в R³ во всех т. кот. знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y,z)=C