§3 Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (лду); метод вариации постоянной.

Напомним, что уравнение называется линейным относительно переменных u,v, если сумма степеней этих переменных в каждом слагаемом равна 1 или 0: au+bv=cLY(u,v). Пусть y(x) – дифференцируемая функция и y’,dy – ее производная и дифференциал.

Определение.

ЛДУ 1 порядка с коэффициентами a(x), b(x) и правой частью f(x) называется ДУ вида

Если f(x), q(x)≡0, уравнение называется «однородным ЛДУ (ОЛДУ)», в противном случае его называют «неоднородным ЛДУ». Очевидно, что для всякого неоднородного ЛДУ можно записать соответствующее ему ОЛДУ.

Можно показать, что задача Коши для ЛДУ с непрерывными коэффициентами имеет единственное решение при любом начальном условии y(x₀)=y₀.

1. Рассмотрим сначала однородное ЛДУ и найдем его общее решение :

Заметим, что общее решение ОЛДУ имеет вид У_o(x,C)=CF(x) () и при С=0 включает частное решение У_о(х)≡0.

2) Решение неоднородного ЛДУ y’(x)+p(x)=q(x) будем искать «методом вариации постоянной»-в виде y(x)=C(x)F(x), где F(x) – решение соответствующего ОЛДУ(F^/+p(x)F(x)≡0), а С(х)-неизвестная дифференцируемая функция. После подстановки y(x)=C(x)F(x) в ЛДУ для С(х) получим ДУРП:

Таким образом,

• решение неоднородного ЛДУ сводится к последовательному решению двух ДУРП, первое из которых является соответствующим однородным ЛДУ;

• общее решение неоднородного ЛДУ равно аддитивной сумме общего решения соответствующего ОЛДУ Y₀(x,C), которое не зависит от правой части q(x), и частного решения y*(x) неоднородного ЛДУ, которое определяется как решением ОЛДУ, так и правой частью ЛДУ: Y_Н (x,C)=Y₀(x,C)+y*(x)

Замечание. Структура решения ЛДУ соответствует фундаментальному свойству линейного физического объекта: его движение (состояние) складывается из «внутреннего движения» (Y₀(x,C)) и движения y*(x) под действием «возмущения» q(x), при этом возмущение не влияет на внутреннее движение.

Рассмотрим пример решения ЛДУ

Найдем решение задачи Коши с начальным условием

Замечания.

[1] Если ДУ записано «в дифференциалах», его решение можно искать либо как функцию y(x), либо как функцию x(y). “Свободу выбора” удобно использовать, если относительно одной из этих функций ДУ оказывается линейным.

1) (x-2xy-y²)dy+y²dx=0  x(1-2y)dy+y²dx=y²dy --- ЛДУ(x(y),dx)

2)x²dy+(3-2xy)dx=0  x²dy-2xydx=-3dx ; --- ЛДУ(y,dy)

3) (8y+10x)dx+(5y+7x)dy=0 – не ЛДУ, но однородное:

[2] ДУ Бернулли приводится к ЛДУ(U, dU), если ввести функцию U(x)=y^1-n ЛДУ(U,U’)

ДЗ Определить тип ДУ; найти его общее решение и решение задачи Коши с начальным условием y(1)=2 .

ОЛДУ(x,dx)Xo(y,C)=Cy²e^1/y;  C(y)=C+e^-1/y; 

§4 Ду 1 порядка «в полных дифференциалах».

Напомним, что для дважды непрерывно-дифференцируемой функции F(x,y):

1)

2)

3)

Определение. ДУ «в полных дифференциалах» называется ДУ 1 порядка

(1)

Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую функцию двух переменных F(x,y):

Из (1) и (2) следует, что обыкновенное ДУ (1) равносильно ДУ в частных производных

(3)

решение которого dF(x,y)=0 F(x,y)=C является общим интегралом для исходного ОДУ.

Известно, что решение системы (3) нажодится в два этапа:

(а) После интегрирования любой из частных производных искомая функция F(x,y) находится “с точностю ” до произвольной функции C(y) одной переменной.

б)Подстановка полученного результата во второе уравнение системы дает для этой функции ОДУ 1 порядка :

Общий интеграл исходного ДУ «в полных дифференциалах» записывается в виде:

Например, ДУ (2x+3yx²)dx+(x³+3y²)dy=0 является ДУ «в полных дифференциалах», так как:

Найдем функциюF(x,y):

Д/З: Найти общий интеграл ДУ e^ydx+(xe^y-2y)dy=0