2.4. Принцип максимума Понтрягина
2.4.1. Основное соотношение принципа максимума
Принцип максимума Понтрягина представляет собой метод расчета оптимального управления. Он был сформулирован независимо и почти в то же время, что и метод динамического программирования. Впоследствии оказалось, что уравнения одного метода можно получить из другого и наоборот. Получим основные соотношения принципа максимума, опираясь на метод динамического программирования.
Рассмотрим основное соотношение этого метода (2.24)
.
Поскольку минимум функции равен максимуму этой же функции с противоположным знаком, запишем это соотношение в виде
.
(2.27)
Преобразуем уравнение (2.27), предварительно введя ряд обозначений.
1. Введем расширенный вектор
состояния
,
дополнив его компонентойx0,
.
(2.28)
2. Введем соответствующий
расширенный вектор правых частей
:
.
(2.29)
3. Вектор сопряженных координат
.
(2.30)
Определим скалярное произведение вектора сопряженных координат и расширенного вектора правых частей, которое называется гамильтонианом
,
(2.31)
Если вместо вектора сопряженных координат и расширенного вектора правых частей подставить их значения согласно (2.30) и (2.29) в выражение (2.31), то последнее можно представить следующим образом:
,
или окончательно
.
(2.32)
С учетом (2.32) уравнения (2.27) можно записать в виде
,
(2.33)
которое и представляет собой основное соотношение принципа максимума.
При этом сопряженные координаты определяются системой дифференциальных уравнений
.
(2.34)
Формулировка принципа максимума. Оптимальным является управление из области допустимых значений, которое обеспечивает максимум гамильтониана.
В случае, когда управление объекта не ограничено, для нахождения максимума гамильтониана можно воспользоваться необходимым условием экстремума
.
(2.35)
При ограниченном ресурсе
управления объекта найденное с помощью
(2.35) управление может находиться вне
области допустимых значений, поэтому
для отыскания максимума гамильтониана
необходимо использовать максимальное(более
точно-граничное) значение управления
.
(лекц 5апр-2010--кцоен
Задача оптимального быстродействия
2.4.2. Процедура определения оптимального управления
1. Описание объекта приводится к стандартному виду (2.1), т.е.
,
.
Записывается критерий оптимальности (2.4)
.
2. Формируется расширенный
вектор состояния
и
правых частей
,
в общем виде записывается вектор
сопряженных координат
.
3. Формируется гамильтониан
.
4. Из условия максимума гамильтониана определяется оптимальное управление как функция сопряженных координат
.
5. Формируется система дифференциальных уравнений для нахождения сопряженных координат
.
6. Находится оптимальное управление в виде функции времени (программное управление)
.
7. По возможности осуществляется переход к оптимальному управлению в виде обратной связи
.
Рассмотрим определение оптимального управления с помощью описанной процедуры на примере.
Пример 2.3
Объект описывается уравнениями
Необходимо найти оптимальное управление, которое обеспечивает переход из начальной точки в конечную
за конечное время T = 1с при минимуме затрат энергии, т.е.
.
Поскольку объект описан в переменных состояния, переходим к формированию расширенного вектора состояния и правых частей, а также запишем вектор сопряженных координат
,
,
.
Сформируем гамильтониан
и определим его максимум по u
.
Из этого уравнения определим оптимальное управление в виде функции сопряженных координат
.
Для сопряженных координат запишем систему дифференциальных уравнений
из которой определим
В результате оптимальное управление принимает вид
.
Коэффициенты
определим,
решая краевую задачу. С этой целью
запишем уравнения замкнутой системы
Определим решение для переменных состояния в виде
Учтем теперь заданные начальные и конечные условия и T= 1 с.
Решая полученную систему уравнений, определим неизвестные коэффициенты
В результате оптимальный программный закон управления имеет вид
.