Лекция 6. Уравнения с частными производными. Одномерное уравнение теплопроводности. Построение явной разностной схемы одномерного уравнения теплопроводности и ее решение.

Разностная постановка задачи

В однородный тонкий стержень, неравномерно нагретый, на концах -ого, установлены тепловые машины (печь или холодильник), т.е.концов стержня изменяется по заданному закону.

Как изменяется во времени распределение температуры .

Одномерное уравнение теплопроводности

Явная схема. Задача Коши.

Заменим производные иразностными соотношениями:

Получим схему:

Эта схема называется явной т.к. вычисление решения по ней не представляет труда и проводится по явной формуле.

, где.(уточнить с буквами-переменными

Зная значение на слоесетки, мы можем вычислить его значениена следующем слое. Присхема имеет 2 порядок аппроксимации относительноh.

(5 марта(1я пара)---лкц надо вычитывать

Лекция 7. Построение неявной разностной схемы одномерного уравнения теплопроводности и ее решение методом прогонки.

Неявная схема

Разностное уравнение нельзя разрешить относительно , выразив его через известныес предыдущего слоя. Т.к в это уравнение входит не только неизвестное, но и неизвестные,. Поэтому для определения,придется решать разностное уравнение, относительно сеточной функцииаргументаm. Тем не менее неявная схема как правило удобнее явной.

При обе схемы имеют 2 порядка аппроксимации относительноh.

Лекция 8. Двумерное уравнение теплопроводности. Решение двумерного уравнения теплопроводности методом конечных разностей.

;

t

y

x

Введем трехмерную сетку

значение вузле

Явная схема

;,

Данная схема устойчива при

И сходится

(5марта—нужен пример исследования устойчивости РС

Лекция 9. Уравнение Лапласа и три краевые задачи. Задача Дирихле и ее решение методом итераций.

Уравнение Лапласа описывает стационарное распределение на 2-ой области.

Однако для расчета какого-либо физического процесса, необходимо указать краевые условия.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа.

L

G

Шаблон

положим внутри областиG

Итерационный процесс продолжается до тех пор пока отклонение значений в узлах для двух последовательных интеграций не станет меньше некоторого заранее определенного Е.

Лекция 10. Задача Неймана и ее решение методом конечных разностей.

Задача Неймана для уравнения Лапласа

; наS

На участке границы.

Аналогично строятся разностные уравнения и на других участках.

Эти условия задают решение задачи с точностью до прибавления одного и того же числа к температуре всех точек. Т.е. для однозначного решения необходимо задать температуру в какой-нибудь точке области Д.

План решения задачи Неймана с помощью разностных схем:

Присвоим всем внутренним точкам области Днекоторые температуры, например.

Присвоим краевым точкам такие температуры, что бы выполнялись краевые условия (т.е. произведем пересчет по разностным схемам полученным для разных участков границы).

Решим задачу Дирихле, при фиксированных граничных точках.

Найдем максимальное изменение температура на данном и предыдущем этапе, если оно достаточно мало, то будем считать найденную функцию решением задачи, иначе перейдем к шагу 2.

Лекция 11. Третья краевая задача и ее решение методом конечных разностей.

Третья краевая задача для уравнения Лапласа

Составим разностную схему для границы

; Аналогично для остальных участков границы

Установить все

Используя краевые условия и температуры внутренних точек вычисляем температуры граничных точек.

Зафиксируем температуры группы точек и решим задачу Дирихле

Замечание: Чаще всего решается комбинированная задача, т.е. на разных участках границы вводятся групповые условия разных типов.

U=100

U=50+X