Лекция 3. Разностные схемы первого и второго порядка. Решение разностных уравнений первого порядка по схеме Эйлера.

Для простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядкаможно построить разностные схемы следующего вида:,.

Если последовательность точек, делящих ось Ох на отрезки длины h, занумеровать слева направо так, чтобыи обозначитькак, а, то уравнения можно представить в виде:,.

В данном виде уравнения могут иметь множество решении, чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно задать значение этого решения в какой-нибудь одной точкеm, т.е. задать.

, т.е. можно определить все значения

записав иначе

можно определить, приn<m.

Для выделения единственного решения в уравнении достаточно задать произвольно значения в каких-нибудь двух последовательных точках, напримери.

Т.е. уравнение вида для выделения единственного решения, которого достаточно задать значение решения в двух последовательных точках, называется уравнением второго порядка.

Существует также простейшие уравнения, вида ,, решения которых определяются единственным образом без какого-либо ограничения на последовательность- такие уравнения называются уравнениями нулевого порядка.

Схема Эйлера

Рассмотрим задачу:

Разностная схема аппроксимирующая эту задачу cпервым порядком относительноh.

При известном значениевычисляется по формуле.

Схема Эйлера с пересчетом

, где

Схема имеет 2-ой порядок аппроксимации. Если - известно, то вычисляется, а затем осуществляется уточнение найденного.

Лекция 4. Схемы Рунге-Кутта и Адамса. Решение разностных уравнений первого порядка по схемам Рунге-Кутта и Адамса.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения I-ого порядка

Схемы Рунге-Кутта.

Пусть значение - приближенного решения в точкеуже найдено и нужно найтив точке. Задаем целоеи выписываем выражения:

Затем полагаем

Коэффициенты ,,…,,,, …,подбираем так, чтобы получить при заданномаппроксимацию возможно более высокого порядка. Знаяможно вычислитьзатем.

Простейшей схемой P-Kявляется схема Эйлера

При

Одна из схем Р-К

Имеет 4 порядок аппроксимации

,при любом фиксированномимеет второй порядок аппроксимации.

Для получения по схеме Р-К при уже известномприходитсяраз вычислять значение функции, далее это значение не используется.

Схемы Адамса

В этих схемах для вычисления каждого следующего значения достаточно дополнительно вычислить значениелишь в одной точке независимо от порядка аппроксимации.

Пусть .

Выпишем несколько разностных уравнений, используемых в схемах Адамса.

;

;

;

Первое из этих уравнений – разностное уравнение Эйлера.

Первое уравнение имеет 1 порядок аппроксимация

Для вычисления по 1-ой схеме достаточно знать одну точку

Для 2-ой две, кроме , еще

Эти значения могут быть найдены по схеме Рунге-Кутта, с помощью схемы Эйлера с мелким шагом.

Преимущества метода Адамса перед методом Р-К заключается в меньшей трудоемкости вычислений на один шаг.

Основным недостатком – нестандартное начало счета и невозможность изменить с какой-то точки шаг h.

____

19февраля

Лекция 5. Метод прогонки. Решение разностных уравнений второго порядка методом прогонки. Программирование алгоритма метода прогонки на эвм.

0<n<N

Запишем в виде, где,

для n=1

, где,.

Выполним этот процесс для n=2, 3, 4, …

подставим в,получаем

т.е. коэффициенты LиKвычисляются по рекуррентным формулам

Последнее из получаемых таким образом соотношений имеет вид:

,

т к. то. После этого,и т.д. определяются соответственно из равенств :и т.д. до

Таким образом:

Сначала производится вычисление коэффициентов ,в порядке возрастания номеров (прямая прогонка) по формулам (2), гдеизаданы.

Затем производится вычисление неизвестных также рекуррентно в порядке убывания номеров (обратная прогонка) по формулам