Контрольные вопросы

1.      В чем состоит сущность метода Монте- Карло?

2.      Что называют «разыгрыванием случайной величины» ?

3.      Определение случайных чисел. Свойство квазиравномерной случайной величины.

4.      Правило разыгрывания ДСВХ.

5.      Правило разыгрывания противоположных событий.

Пример использования метода Монте-Карло в математическом программировании.

Принятие решений в условиях неполной и неточной информации .

Методы предотвращения и уменьшения риска

а) основанные на уменьшении вероятности убытка путем изучения источников риска и предотвращения его появления:

улучшение информационного обеспечения (получения (оперативность, качество, полнота), обработки (прогнозы, кризисное управление), накопления информации и качества коммуникаций);

 точное определение планируемого значения основных критериев, напр. прибыли (учет различных эластичностей, взаимозаменяемости средств производства, сырья и персонала, постоянная корректировка планов с учетом информационных изменений, альтернативное планирование - "планирование в ящик стола");

 уменьшение ошибочного поведения (повышение осознания риска сотрудниками, их соответствующее стимулирование для увеличения их заинтересованности в уменьшении риска, персональный отбор сотрудников, передача знаний при помощи обучения, назначение персонально ответственных);

 формирование специальных технических инструментов

 системы охраны (труда, от несчастных случаев, пожарной безопасности, безопасности от утечки информации, растрат, экологических катастроф, качества продукции);

 увеличение надежности системы в целом путем запараллеливания ее элементов, работающих на пределе надежности;

 установление "указателей ошибок" (системы тревоги перед появлением неисправностей);

 установление систем быстрого отключения (для автоматического отключения при критическом состоянии);

 содержание в исправности (регулярные проверки).

) методы преодоления риска (снижения вреда)

ограничение возможной величины потерь:

пространственное (рассредоточение складов, рассеянные места производства);

временное (патентная защита, долгосрочные договоры);

персональное (по взаимосвязанности с контрагентами) - образование консорциумов, кооперация);

компенсация риска (выравнивание ущерба по различным частям фирмы);

самокомпенсация ущерба (запасы, резервы);

передача риска:

перекладывание риска/ущерба на третьих лиц (поставщиков, потребителей, кредиторов, совладельцев, наемных работников, покупателей, государство);

постороннее обеспечение (заключение договора о страховании на возмещение убытков).

Выводы:

Анализ риска состоит из:

распознавания риска путем осмотра, документального и организационного анализа, исследования перечня источников риска путем отбора наиболее вероятных и сильно действующих;

оценки риска (оценка вероятности возникновения и последствий);

возможностей компенсации риска.

Моделирование воздействия риска методом Монте-Карло

Пример:

ЧП = ЦО - И - Н , где

ЧП - чистая прибыль;

Ц - цена единицы продукции;

О - объем реализованной продукции;

ЦО - выручка от реализованной продукции;

И - издержки /сырье, материалы, п/ф, энергия и т.д./;

Н - налоги.

В реальной практике возможны отклонения реальных значений от запланированных /объем сбыта, стоимость покупных материалов, величина налоговой ставки и т.д./. Т.е. формула будет иметь вид:

ЧП" = Ц(О+о) - (И+и) - (Н+н)

/маленькие буквы показывают отклонение соответствующей величины от запланированного значения и могут иметь любой знак/.

Алгоритм.

Выбирается та итоговая величина, которая нас интересует /в данном случае чистая прибыль/.

Определяются основные факторы - источники риска.

а) определяются внешние (различные действия государственных органов, местных органов, организаций, предприятий, воздействия природы и т.д.) и внутренние факторы риска (производственные, социальные, финансовые, экологические и т.д.);

б) выделяются те факторы, которые, во-первых, в наибольшей мере влияют на выбранную итоговую величину, а, во-вторых, появление которых наиболее вероятно. Как правило, эти факторы выявляются экспертным путем, хотя возможно использование моделирования. Чем больше число выделенных факторов, тем меньше вероятность ошибки, однако тем больший объем информации необходимо собрать для последующего моделирования и тем дольше оно будет осуществляться.

в) выбираются те возмущающие воздействия, последствия которых носят наиболее тяжелый характер или профилактика которых наиболее проста для предприятий, и продумывается система мер, позволяющих уменьшить вероятность их возникновения или их размер негативного воздействия. Тем самым возникает возможность исключить из последующего рассмотрения ряд факторов (этот подпункт может осуществляться как здесь, так и после пункта 4);

Разработка модели (связи целевой функции и отобранных факторов).

Сбор информации относительно закона распределения отобранных факторов (характера распределения и его параметров). Это наиболее узкое место метода. Например, цены на сырье скорее всего распределены по нормальному закону распределения в силу центральной предельной теоремы. Математическое ожидание можно определить путем экстраполяции динамики изменения ее средних значений. Дисперсию также можно определить путем изучения ее отклонений от средних величин. Но все равно требуется собрать и переработать огромный объем информации. А как быть с величиной налоговой ставки - качественно неизвестной информацией?

Моделирование и анализ результатов. С помощью метода Монте-Карло многократно генерируются псевдослучайные значения отобранных факторов, для каждого варианта определяется значения целевой функции. Число генерации - примерно на порядок, а лучше на два больше числа отобранных факторов. Вероятность того, что целевая функция будет меньше некоторой величины - число соответствующих случаев к общему числу испытаний.

Примечание. Разумеется, алгоритм нелинейный.

Метод балльной оценки рискаВычленяются отдельные направления - источники риска (аналог п.2 алгоритма) и осуществляется их балльная оценка.

Метод «калькуляции» рисков, основанный на строгом определении риска

 Интервальное задание оценок параметров путем введения оптимистичного и пессимистичного прогноза. Чем больше интервал, тем больше вероятность верности оценки, но тем меньше точность метода.

 Определяется оптимистичное и пессимистичное значение целевой функции и, соответственно, шансы и риск.

Пример:

G = m * (P - K) - F

(G - прибыль, m - объем выпуска продукции, P - цена единицы продукции, K - величина издержек на выпуск единицы продукции, F- фиксированные издержки).

Пусть исходно было запланировано m=10000шт., P=7DM, K=4DM, F=10000DM. Тогда планируемая прибыль G=20000DM. Пусть цена единицы продукции снизилась на 10% (6,3 DM), тогда прибыль составит 13000 DM (уменьшится почти на 30%). Таким образом, при снижении цены на 10% предпринимательский риск составляет 7000 DM. Шансы - точно также.

 Определяется чувствительность рисков и шансов к изменению величины параметров, т.е. отношение процента изменения уровня достижения цели относительно ее запланированного уровня к проценту изменения величины параметра. Соответственно, можно исключить из рассмотрения часть параметров.

 Осуществляется анализ ситуации: шансовая (если шансы больше риска), нейтральная (при их равенстве) и рискованная (шансы меньше риска). В зависимости от чувствительности риска и шансов можно более детально охарактеризовать ситуацию еще и по степени ее стабильности.

«Отдых на воде»

Игра является классическим примером формирования управленческих решений в условиях влияния случайных воздействий внешней среды, имитируемых с помощью метода Монте-Карло.

Оптимальная стратегия может быть сформирована путем многократных компьютерных экспериментов.

Ситуация

В связи с ростом города и развитием его порта компания "Отдых на воде" (КОНВОД) в настоящее время стремится расширить масштабы своей деятельности в области спортивной рыбной ловли. Ранее были приобретены базовое круизное судно и спортивные рыболовные лодки.

К настоящему времени КОНВОД успешно завершила переговоры с городской администрацией о сдаче в аренду 2,5 единиц земли для собственной лодочной станции.

Вашей задачей является проработка проекта по превращению 2,5 ед. целины в лодочную станцию, приносящую максимальный доход.

Информация для анализа. В связи с тем, что данный вид активного отдыха является достаточно элитарным, были закуплены дорогие спортивные лодки. Их постоянное пребывание в воде практически неизбежно ведет как к частичной утрате ходовых качеств, так и к ухудшению состояния интерьера. Опыт других компаний выявил случаи угона подобных лодок и актов вандализма. В результате руководством компании было принято решение о том, что лодочная станция будет оборудована специальными причальными устройствами для спуска и подъема лодок, а сами они будут постоянно храниться в эллинге. Санитарно-профилактические работы в целях гарантированности их высокого санитарно-технического качества обязательны после каждого использования и должны проводиться в эллинге по стандартной процедуре.

Из обсуждений с управленцами аналогичных компаний Вы узнали, что использование стационарных причалов не покрывает суммарных расходов, включающих средства на постройку, страхование от несчастных случаев, стоимость обслуживания и стоимость ликвидации пристани. Вы выяснили, что временные легкие конструкции более перспективны в смысле прибыльности, легкости обслуживания, а также дешевле при закупке, эксплуатации и ликвидации.

В результате анализа многочисленных предложений предприятий-производителей подобных сборных причальных устройств Вы сократили свой выбор до двух вариантов, в дальнейшем именуемых причалами типа "А" и "В". Хотя их цена и качество одинаковы и их производители готовы осуществить свои поставки сразу после получения заказа, имеется существенное отличие в стоимости эксплуатации и скорости обслуживания лодок. Эксплуатационные затраты учитывают следующее: собственно стоимость обслуживания; стоимость регулярно поставляемых в рамках договора запчастей; годовую амортизацию оборудования за 140 дней лодочного сезона в год. Для варианта А она составляет 150 р в день, а для В - 200 р в день.

Хотя отличие в стоимости эксплуатации представляется существенной, Вы понимаете, что разница в скорости обслуживания, обусловленная конструктивными особенностями причальных механизмов, в частности, мощностью мотора механизма для подъема лодок, может являться более важным фактором. Вариант В подразумевает возможность обслуживания (спуска лодки на воду или ее подъема) на одну лодку в час больше, чем для варианта А.

Привлеченные к анализу эксперты подтвердили, что вне зависимости от того, какой тип причала или их комбинация будут выбраны, эффективной окажется эксплуатация на пристани не более четырех причалов, а одновременная работа на одном причале более трех человек приводит к тому, что они начинают просто мешать друг другу.

Из бесед с производителями причального оборудования Вы знаете, что на скорость осуществления операций по спуску и подъему лодок помимо вида причала влияет и число обслуживающего персонала (см. Табл.1).

Табл.1 Число лодок, обслуживаемых за день

Кроме того, составлены прогнозы распределения числа заявок на прокат лодок отдельно для хорошей и отдельно для ненастной (пасмурной, дождливой, туманной и т.д.) погоды (см. Табл.2).

Табл.2 Распределение числа заявок на прокат лодок за день

Проведенный анализ погодных условий данного региона показал, что ненастными в течение сезона рыбной ловли бывает 40% дней.

Местное бюро по найму работников согласно сотрудничать с Вами на следующей основе: Вы присылаете свою заявку на ежедневно необходимое число работников один раз в декаду, причем как за высвобождение, так и за дополнительный найм одного человека в ходе этой декады Вы должны заплатить 50

Местный гидрометеоцентр готов предоставлять Вам раз в декаду свой прогноз. К сожалению, необходимо заметить, что он оправдывается лишь в 80% случаев.

Дополнительные данные

Длительность работы лодочной станции - 15 часов;

Оплата работников причалов - 2 в час;

Доходность проката одной лодки - 4 .

Система штрафов

Если во время игры Вы захотите сменить один тип причала на другой, Вы должны заплатить по 200 за каждый причал на его переоборудование.

Если Вы измените общее число занятых на причале, то за каждого Вы должны заплатить дополнительно 50 (при высвобождении - в качестве выходного пособия, а при найме - как стоимость подбора дополнительных кадров).

Потери в связи с недостаточной пропускной способностью станции - 1 за каждую необслуженную лодку.

Задание

Вы должны сформировать Ваше решение, состоящее из следующих моментов:

сколько причалов имеет смысл задействовать;

какого типа причалы имеет смысл приобретать;

сколько работников будет работать на каждом из причалов в каждый из дней декады в соответствии с полученным метеопрогнозом.

Ход процесса

До начала каждой декады вы определяете число причалов каждого вида, которые вы хотите приобрести.

На основании прогноза погоды на декаду вы определяете число рабочих, которое будет задействовано на причале каждого типа.

Определяется пропускная способность лодочной станции в день.

Пропускная способность станции определяется следующим образом: число действующих причалов типа А умножается на его пропускную способность, определенную для выбранного числа обслуживающих работников, и к этому прибавляется число действующих причалов типа Bумножается на его пропускную способность, определенную для выбранного числа обслуживающих работников.

Организуется поток заявок на прокат лодок:

Становится известной "истинная погода" на каждый из дней декады. Запросы на прокат лодок формируются методом Монте-Карло исходя из таблиц распределения числа лодок для хорошей и плохой погоды (Табл.2).

Определяются экономические результаты для текущей декады:

Общие расходы за декаду (R) определяются как сумма следующих величин:

Затраты на эксплуатацию причалов Zп, которые складываются из стоимости эклуатации причалов типа А (стоимость эксплуатации одного причала этого вида - 150 умножается на число этих причалов Ра и на число дней в декаде - 10) и аналогичным образом определенной стоимости эксплуатации причалов типа В.

2 Затраты на заработную плату рабочих Zр: стоимость одного часа работы одного рабочего (2 ) умножается на длительность рабочего дня (15 часов) и на число рабочих, занятых на причалах обоего типа в течение декады. Для определения последней величины по всем дням декады суммируется число рабочих, занятых в этот день на причалах типа А (число рабочих на одном причале, умноженное на число причалов этого типа) и В.

3 Штраф за изменение числа причалов Sл (200 умноженное на суммарное число изменений числа причалов А и В).

Штраф за изменение числа работников Sр - декадная сумма изменений общего числа занятых работников на причалах обоего типа по отношению к предыдущему дню этой декады.

Штраф за отказ от обслуживания Sн за всю декаду определяется как сумма по всем дням тех лодок, которые не могли быть обслужены из-за того, что пропускная способность лодочной станции оказалась меньше, чем реальное число заявок на лодки.

Доходы (D) определяются путем умножения доходов от обслуживания одной лодки (4)на число лодок, обслуженных за декаду. Число лодок, реально обслуженных в каждый день, равняется меньшему из двух чисел: пропускной способности лодочной станции в этот день и полученному числу заявок.)

 Результаты деятельности за декаду - разность между доходами и общими расходами за эту декаду.

 Определяются результаты вашей деятельности за весь период как сумма результатов деятельности по всем декадам.

Дополнительные возможности. Возможно появление в ходе игры дополнительных "факторов неопределенности", т.е. возмущающих воздействий различного происхождения, вероятность которых неизвестна, однако последствия которых могут быть оценены, например

изменение оплаты наемных работников;

непредвиденное изменение их численности;

уменьшение или увеличение производительности труда работников;

изменения пропускной способности лодочной станции;

изменения числа заявок на лодки;

различные непредвиденные штрафы и компенсации;

изменения цены проката лодок;

изменения стоимости дневной эксплуатации причалов и т.д.

Вероятностные характеристики возмущающих воздействий трудно охарактеризовать, их число чрезвычайно велико, в первоначальной модели предполагается что каждое из них происходит достаточно редко.

Имитация появления подобных возмущающих воздействий, практически вероятных в реальной жизни, помогает оценить качество принятых вами решений.

Непосредственное принятие решения ( выбор плана) на декаду может осуществляться подобно выбору смешанной стратегии в матричных играх.

Лекция 6. Особенности метода Монте-Карло.

Исследование операций.

1.1Особенности метода:  1).Универсальность. Простота реализации.

Расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать; точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа испытаний.

метода Монте-Карло связана с получением так называемых случайных чисел с заданным законом распределением. Особое значение имеют последовательности равномерно распределенных случайных величин, поскольку они часто появляются при вычислениях и, кроме того, на основе последовательно равномерно распределенных чисел строятся последовательности с другими законами распределения (нормальным, экспоненциальным и др.

2). Погрешность 

…

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А, главное, аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели, по сравнению, с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории - неограниченно большое) число факторов. Но и у них - свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходятся искать "на ощупь", путем догадок и проб. Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей. Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время . Следующее "текущее решение" принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы "набирает опыт", учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения - если не оптимальные, то почти оптимальные. Определение понятия "имитационное моделирование". В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки: - в первой - под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле; - во второй - этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия; - в третьей - предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием , но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная , не вводится; Имитационное моделированием применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. .. Попробуем проиллюстрировать процесс имитационного моделирования через сравнение с классической математической моделью. Этапы процесса построения математической модели сложной системы: 1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели. 2. Из множества законов, управляющих поведением системы, выбираются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы. 3. В пополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Критерием адекватности модели служит практика. Трудности при построении математической модели сложной системы: - Если модель содержит много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, большое число параметров и т. д. - Реальные системы зачастую подвержены влиянию случайных различных факторов, учет которых аналитическим путем представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые при большом их числе; - Возможность сопоставления модели и оригинала при таком подходе имеется лишь в начале. Эти трудности и обуславливают применение имитационного моделирования. Оно реализуется по следующим этапам: 1. Как и ранее, формулируются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотим получить. 2. Осуществляется декомпозиция системы на более простые части-блоки. 3. Формулируются законы и "правдоподобные" гипотезы относительно поведения как системы в целом, так и отдельных ее частей. 4. В зависимости от поставленных перед исследователем вопросов вводится так называемое системное время, моделирующее ход времени в реальной системе. 5. Формализованным образом задаются необходимые феноменологические свойства системы и отдельных ее частей. 6. Случайным параметрам, фигурирующим в модели, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняющиеся постоянными в течение одного или нескольких тактов системного времени. Далее отыскиваются новые реализации.

Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования.

..

Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится "розыгрыш" случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее "работать на нас". Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс - явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным). В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы ОДНОГО попадания равной 1 - (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и "розыгрышем", статистическим моделированием. Вместо "трех выстрелов" будем бросать "три монеты", считая, скажем, герб-за попадание, решку - за "промах". Опыт считается "удачным", если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество "удач" и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен. Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Рассмотрим простой пример иллюстрирующий метод (Приложение 1). Пример 1. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура изображенная на рис. 1, и предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата. Выберем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим через F число точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна отношению F/N. Чем больше N, тем больше точность этой оценки.

..

Две особенности метода Монте-Карло

Первая особенность метода

- простая структура вычислительного алгоритма.

Вторая особенность- погрешность вычислений, как правило, пропорциональна \sqrt{DN},

где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что

для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз

(иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак),

нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно

говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач,

в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения

метода Монте-Карло теоретически довольно прост. Чтобы получить искусственную

случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией

распределения вероятностей, следует:

1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на

основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс

(а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной

процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1)

- по оси ординат (у).

2.С помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в

пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей

выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения

вероятностей.

4.Опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс.

5.Записать полученное значение х. Далее оно принимается как выборочное

значение.

б.Повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому

порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью

простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1

минуты соответствует следующему распределению:

Кол - во звонков Вероятность Кумулятивная вероятность

О 0,10 0,10

1 0,40 0,50

2 0,30 0,80

3 0,15 0,95

4 0,05 1,00

Предположим, что мы хотим провести мысленный эксперимент для пяти периодов

времени.

Построим график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора

случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для

определения количества звонков в данном интервале времени.

Период времени Случайное число Количество звонков

1 0,09 О

2 0,54 2

3 0,42 1

4 0,86 3

5 0,23 1

Взяв еще несколько таких выборок, можно убедиться в том, что если

используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из

значений исследуемой величины будет появляться с такой же частотой, как

и в реальном мире, и мы получим результаты, типичные для поведения

исследуемой системы.

…

(20февр---в будущей лабораторной подготовить использование методов Монте-Карло

Вернемся к примеру. Для расчета нам нужно было выбирать случайные точки в единичном квадрате. Как это сделать физически? Представим такой эксперимент. Рис.1. (в увеличенном масштабе) с фигурой S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата. Конечно, все пули не будут ложиться точно в центр: они пробьют на мишени N случайных точек.

Ясно, что при высокой квалификации стрелка результат опыта будет очень плохим, так как почти все пули будут ложиться вблизи центра и попадут в S. Нетрудно понять, что наш метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не просто "случайными", а еще и "равномерно разбросанными" по всему квадрату.

..

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в

трех основных ролях:

1) при моделировании сложных, комплексных операций, где

присутствует много взаимодействующих случайных факторов;

2) при проверке применимости более простых, аналитических

методов и

3) выяснении условий их применимости;

Пример.

Оценка геологических запасов. Для оценки величины извлекаемых запасов необходимо, прежде всего, определить величину суммарных или геологических запасов. Анализ структурных ловушек. Для оценки содержания в структурной ловушке нефти и/или газа, поисковые и промысловые геологи и геофизики должны изучить характер структурной ловушки. Такое исследование необходимо для определения возможной величины геологических запасов. Область изменения запасов определяется комбинацией следующих оценочных показателей: объем осадочных пород (RV), пористости (F), пaровой водонасыщенности (Sw), эффективная мощность (NP) g. Определение вероятных значений параметра. На этом этапе геологи должны оценить значение вероятностей для параметров, используемых при подсчете геологических запасов. Каждому параметру приписываются интервальные значения вероятностей, исходя из экспертных оценок геологов..

Предположим, гистограммы представляют собой экспертную оценку поисковых и промысловых геологов и геофизиков, которые обеспечивают информацию в следующей форме: - по нашему мнению , вероятность того, что объем пород залежи находиться в интервале от 0 до 13 тыс. метров составляет 10%; - по нашей оценке вероятность того, что объем пород равен от 14 до 20 куб. метров , составляет 15% и так далее. Эти оценки геологов накапливаются, и в итоге получается обобщенная кривая вероятности .

Подсчет геологических запасов. Объем геологических запасов вычисляется с помощью следующей формулы: RVxFx(l-Sw)x NPx -, где Fv - коэффициент приведения нефти к поверхностным условиям. Использование средних величин для получения приблизительной оценки геологических запасов.

- среднее значение объема пород составляет 1,660 млрд. м3 - средняя пористость - 17% - средняя водонасыщенность - 20% - средняя эффективная мощность - 75% - коэффициент приведения - 1,02 (в пластовых условиях нет свободного газа). Теперь подставим эти значения в формулу, получается нефти -165 млн. м3, 141 млн.т

..

Более распространенный способ: метод Монте-Карло. Прежде всего, построить гистограммы и кривые накопленной вероятности для каждого параметра. Для каждой из этих кривых случайным образом необходимо выбрать точку, соответствующую вероятности от 0 до 100 %. После этого надо подставить значение параметра, соответствующее этой вероятности в уравнение. Затем можно подсчитать геологические запасы при этих значениях параметров и вычислить полную вероятность.

Приводить выкладки полностью нецелесообразно, но

- для 50%-ой накопленной вероятности имеем 25%-ю вероятность того, что объем пород составит 0,837 млрд м:3

- для 20%-ой накопленной вероятности имеем 35%-ю вероятность того, что пористость составит 21% - для 25%-ой накопленной вероятности имеем 25%-ю вероятность того, что водосодержание равно 33% - 80%-я накопленная вероятность показывает 32%-ю вероятность того, что эффективная мощность составит 74%. - коэффициент приведения нефти к поверхностным условиям принимаем равным 1,02.

решив, получим приблизительно : нефти 82 млн.м3, 70 млн.т.( 521 млн. баррелей нефти)

результат этого вычисления значительно меньше, чем при использовании средних значений параметров. Нам нужно узнать вероятность этого результата. Для определения вероятности того, что геологические запасы составят 521 млн. баррелей нефти, вычислим полную вероятность: 0,25 х 0,35 х 0,20 х 0,35 х 1,0 = 0,006125 ,т.е. вероятность равна 0.6125% - не очень хорошая! Эта процедура повторяется многократно, для чего мы использовали программу, составленную для ЭВМ. Это дает нам разумное вероятностное распределение геологических запасов. В результате выполнения программы прогнозировали объем геологических запасов нефти: наиболее вероятно, что объем нефти составит около 88,5 млн.

…

Использование распределения накопленной вероятности. На следующем этапе, используя график, необходимо выбрать несколько оценок вместе с их вероятностями. Для каждого из этих значений вычисляются: динамика добычи, варианты проекта разработки. Эти расчеты могут затем использоваться для оценки капитальных эксплуатационных затрат для каждого значения запасов, выбранных из графика. Затем для каждого значения запасов анализируются экономические показатели. По прошествии некоторого времени, и после того, как будет пробурено некоторое количество скважин, рассчитывается коэффициент успешности по формуле. Коэффициент успешности = кол-во скважин давш. нефть\ кол-во пробур. скважин За период в течение нескольких лет составляется график вероятности достижения успеха. Например, для условной площади, график коэффициента успешности составлен по прошествии девяти лет эксплуатации. Через соответствующие значения успешности проводятся условные линии, затем через их центры проводится огибающая кривая. Крайние точки этих линий соответствует максимальному уровню успешности, а центральная кривая соответствует наиболее вероятному уровню достижения успеха. Значения вероятностей определяются на основе субъективных суждений промысловых геологов. Аналогично определяется уровень запасов на одну скважину. С помощью коэффициента успешности и средних запасов на одну скважину оценивается вероятность достижения определенного уровня запасов, необходимая для составления программы бурения и определения количества необходимых скважин.

Вывод. Основным недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений, в частности, о "марковости" процесса. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Образно говоря, метод Монте-Карло в задачах исследования операций играет роль своеобразного ОТК. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель "лезет" что угодно - любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей - их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического моделирования гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оптимизировать решение (его приходится "нащупывать" вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций - дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то "подсистемы", выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из "кирпичиков", строить здание большой, сложной модели.

Приведем еще один пример.

Напомним, что методом Монте-Карло принято называть такие численные методы , характерной особенностью которых является использование чисто стохастических элементов в отличие от детерминистических уравнений метода молекулярной динамики. Частную форму этого подхода, применяемую в физике жидкого состояния, разработали Метрополис и др. Наиболее характерной ее чертой является построение марковской цепи, отдельными марковскими состояниями которой являются точки в обычном рассматриваемом в статистической механике конфигурационном пространстве системы N молекул при температуре Т, заключенных в объеме V.

Таким образом, расчет по методу Монте-Карло состоит в построении последовательности молекулярных конфигураций путем случайных смещений частиц модельной системы. Каждая новая конфигурация принимается или отвергается; критерием служит вероятность конфигурации, пропорциональная больцмановскому фактору данной конфигурации ехр(-\beta \deltaE).

Метод Монте-Карло пригоден при любом виде межчастичного взаимодействия - важно лишь, чтобы выполнялось условие эргодичности, что равносильно ограничениям на выбор периодических граничных условий.

Обычно матрица переходов строится следующим образом: в системе случайным образом или поочередно выбирается какая-либо одна частица и рассматривается ее случайное смещение из состояния i в состояние j. Обозначим соответствующее изменение полной конфигурационной энергии через \delta E.

Тогда, если \delta E < 0, переход считается приемлемым и прежняя конфигурация заменяется новой. Но если \delta E > 0, то переход может произойти лишь с вероятностью р=ехр(-\beta \deltaE). В этом случае машина случайным образом выбирает десятичную дробь в интервале между 0 и 1 и сравнивает ее с величиной ехр(-\beta \delta E). Если экспонента больше случайного числа, переход совершается, в противном случае отвергается; тогда исходная конфигурация обязательно учитывается повторно.

Таким образом, плотность состояний в конфигурационном пространстве оказывается пропорциональной больцмановскому фактору ехр(-\beta \delta E). Благодаря этому полное среднее по реализациям марковского процесса любой функции при n->\infty стремится к среднему по каноническому ансамблю.

Таким образом, вместо чисто случайного выбора конфигураций и последующего приписывания каждой из них весового множителя ехр(-\beta \delta E) осуществляется процедура, в которой конфигурации выбираются с частотой, пропорциональной ехр(-\beta \delta E), а весовой множитель каждой из них полагается равным единице. Такой подход позволяет избежать прямого вычисления статистической суммы.

Опишем подробно алгоритм Метрополиса и рассмотрим его модификацию для вычисления флуктуационного свободного объема.

1. Формируем начальную конфигурацию.

2. Производим пробное изменение в начальной конфигурации, например, смещаем какую-либо частицу на случайное расстояние.

3. Вычисляем изменение энергии, обусловленное этим переходом.

4. Вычисляем вероятность перехода как exp(-\delta E / kT).

5. Генерируем случайное число в интервале (0, 1).

6. Если это число меньше вероятности перехода, то новая конфигурация принимается, иначе возвращаемся к старой конфигурации.

7. Определяем значения требуемых величин.

8. Повторяем шаги 2-7 для получения достаточного числа испытаний.

9. Вычисляем средние по конфигурациям, которые статистически независимы друг от друга.

В пункте 7 рассчитывается флуктуационный свободный объем.

Осуществляется это следующим образом.

Весь объем разделяется на правильные ячейки, причем их количество определяется количеством частиц. Берется первая ячейка и тестируется на наличие частиц. Если частиц нет, к свободному объему добавляется объем этой ячейки, иначе происходит переход к другой ячейке. Полученный таким образом результат делится на весь объем системы для получения так называемой доли флуктуационного свободного объема. Такая процедура выполняется при одной плотности для разных температур.

При меньшей плотности данный способ должен, однако, претерпеть некоторые изменения, так как в данном случае при замораживании системы образуется непомерно большая доля флуктуационного свободного объема (в результате группировок частиц образуются пустые области, которые необходимо отсекать). Тогда разбиения системы на квадратные ячейки производится рекурсивно в ходе расчета пустых ячеек. Сначала объем разбивается на 4 части и если в какой-то из этих четырех частей больше 1 частицы, она разбивается еще на 4 части и т.д. Таким образом, происходит обход пустых областей и доля флуктуационного свободного объема подсчитывается только внутри упомянутых группировок.

…….