Содержание работы

Поскольку выполнение работы предполагает сравнение полученных гистограмм с теоретическими законами распределения, то сначала требуется начертить графики для указанных законов распределения. Для дискретных случайных это будет ступенчатые функции, а для непрерывных – гладкие кривые. Сравнение гистограмм и функций осуществляется визуально, а затем проверяется соответствие по критерию согласия .

Построение бутстреп - гистограмм предполагает оценивание вероятностей попадания значений в каждый интервал, на которые разбита область возможных значений, бутстреп - методом. Затем по полученным оценкам строится гистограмма. При визуальном сравнении теоретических графиков и гистограмм следует учитывать, что исходные данные представляют собой наблюдения за зашумленными значениями теоретических случайных. Поэтому область возможных значений исходных данных может не совпадать с теоретической.

Ход работы

Построим 200 бутстреп-выборок и оценим стандартным статистическим методом необходимые параметры распределения. Затем усредним оценки параметров каждой бутстреп-выборки и получим искомые бутстреп-оценки параметров распределения.

Усредненные бутстреп-оценки параметров распределения приведены в таблице 1.

Таблица 1. Бутстреп-оценки параметров распределения

Параметр распределения	Оценка параметра
Математическое ожидание	3,1017
Дисперсия	2,8191
Среднеквадратичное отклонение	1,6755

На рисунке 1 приведена гистограмма, построенная по полученным бутстреп-выборкам.

Рисунок 1. Бутстреп-гистограмма

Далее приводятся описания законов распределения дискретных случайных величин и их графики.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания. График приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции распределения Пуассона

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха». График приведен на рисунке 3.

Рисунок 3. График функции геометрического распределения

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p. График приведен на рисунке 4.

Рисунок 4. График функции биномиального распределения

Визуальное сравнение бутстреп-гистограммы с графиками функций распределения позволяет сделать вывод о том, что исходные данные подчиняются закону распределения Пуассона с найденными параметрами распределения:

M = 3,1017; σ² = 2,8191; σ = 1,6755;

Распределение Пуассона имеет один параметр - интенсивность потока, который равен математическому ожиданию и дисперсии. Вычислим как среднее между этими двумя величинами. =2,9604.

Построим теоретическую гистограмму для закона распределения Пуассона с вычисленными параметрами распределения. Данные, используемые для построения теоретической гистограммы, приведены в таблице 2. Собственно теоретическая гистограмма приведена на рисунке 6.

Таблица 2. Данные для построения теоретической гистограммы

хi	ni	pi	n’i	p’i
0	5	0,041901	6,267563	0,051798
1	18	0,151198	18,554513	0,153343
2	21	0,171736	27,464416	0,226979
3	31	0,255579	27,101913	0,223983
4	22	0,178223	20,058145	0,165770
5	14	0,116983	11,876038	0,098149
6	7	0,057934	5,859643	0,048427
7	2	0,016653	2,478129	0,020480
8	1	0,009793	0,917033	0,007579
∑=	121		120,57739

Рисунок 6. Теоретическая гистограмма распределения Пуассона

Проверим наше предположение о соответствии бутстреп-выборки распределению Пуассона по критерию согласия χ². Вычисление значения критерия производится по формуле:

, где

n - объем выборки,

k - количество интервалов,

n_i - количество элементов выборки, попавших в i – й интервал,

p_i* - теоретическая вероятность попадания в интервал i для случайной величины с эталонным законом распределения.

Таблица 3. Данные для расчета критерия согласия χ²

Бутстреп-гистограмма	Теоретическая гистограмма	Значение χ^2
5	6,267563	0,256354
18	18,554513	0,016572
21	27,464416	1,521557
31	27,101913	0,560665
22	20,058145	0,187993
14	11,876038	0,379859
7	5,859643	0,221927
2	2,478129	0,09225
1	0,917033	0,007506
	Сумма:	3,244684

Суммарное значение критерия: χ²_эмп = 3,244684.

Критическое значение критерия χ² определяется как квантиль распределения χ²(α;n). Здесь s=k-1-r (k – количество интервалов, r – число параметров распределения), α – уровень значимости.

Примем уровень значимости α = 0,05. Число степеней свободы s=9-1-1=7.

χ²_крит = χ²(0,05;7) = 14,07.

Так как χ²_эмп < χ²_крит, то гипотеза о распределении Пуассона принимается.