Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

F(х, у, у', у", ..., у⁽ⁿ⁾)=0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Функция у=(х) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=(х).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно у', то оно принимает вид: y'=f(x, y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся част­ным случаем более общего уравнения (в симметрической форме):P(x,y)dx+Q(x, y)dy =0, где Р(x, y) и Q (x, y) — известные функции.

Уравнение в симметричной форме удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию от другой.

Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция у=(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема (теорема Коши). Если функция f(x, у) и ее частная производная f'_y(x, у) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (х₀; у₀) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее условиям: у=у_о при х=х₀.

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x₀; у₀) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение имеет бесконечное число различных решений.

Условия, в силу которых функция у=(х) принимает заданное значение у₀ в заданной точке х₀, называют начальными условиями решения.

Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.

С геометрической точки зрения решить задачу Коши — значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х₀; у₀) плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=(х, С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х₀; у₀)G, существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция у=(х, С₀) удовлетворяет данным начальным условиям  (х₀, С)=С₀.

Частным решением уравнения в области G называется функция у=(х, С₀), которая получается из общего решения у=(х, С) при определенном значении постоянной С=С₀.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х₀; у₀).

Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y'=f(x, у) и пусть функция у=(х) - его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент у' касательной к интегральной кривой в каждой ее точке (х; у) равен значению в этой точке правой части уравнения f(x, у). Таким образом, уравнение y'=f(x, у) устанавливает зависимость между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х; у). Сопоставим каждой точке (х; у) интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f(х, у). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение y'=f(x, у) определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения — интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Построив на плоскости поле направлений данного дифферен­циального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.