1.Ряды

Числовые ряды

Числовым рядом называется формально составленное выражение , где u₁, u₂ , …, u_n ,…— некоторая последовательность чисел. Элемент последовательностиu_nназываютn-м членом ряда. Сумма первыхnчленов ряданазываетсяn-й частичной суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если существует и конечен предел последовательности его частичных сумм; этот предел называется суммой ряда. Обозначают.   Если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.   Если ряд сходится, то пределu _nприn  равен нулю. Если предел u_nприnотличен от нуля, то ряд расходится.

Сходимость ряда. Необходимые условия сходимости ряда.

Ряд сходящийся

если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, называемый суммой сходящегося ряда. Если предела нет, то ряд расходящийся.

необходимое условие сходимости ряда

Последовательность

u₁+u₂+...+u_n+...

сходится, когда общий член ряда u_nстремится к нулю:

Lim u_n = 0

^n->∞

Это неободимое, но не достаточное условие. Например, гармонический ряд 1+1/2+1/3+1/4+ расходится. Здесь общий член стремится к 0, а частичная сумма неограниченно возрастает.

положительный ряд

ряд, все члены которого положительны. Если его частичные суммы имеют предел, то положительный ряд сходится, иначе расходится.

признак Коши

a) если сущ. N для последовательности {sqrtⁿ(a_n)}, построенной из членов ряда Сумма(a_n), где a_n>0, что для всех n>=N

справедливо неравенство sqrtⁿ(a_n)<= q <1, то ряд сходится.

б) если сущ. Lim sqrtⁿ(a_n)=p для a_n>0, то при

• p<1 ряд сходится

• p>1 ряд расходится

• p=1 однозначный ответ невозможен.

признак Даламбера

пусть для положительного ряда u_(n+1)/u_nимеется предел q при n->∞.

если

• q > 1 - ряд сходится

• q < 1 - ряд расходится

• q = 1 - ряд может сходится или расходится

знакопеременный ряд

ряд, у которого члены по очередно положительны и отрицательны.

признак Лейбница

знакопеременный ряд:

• сходится, если члены его стремятся к нулю по абсолютному значению.

• остаток ряда имеет тот же знак, что и первый отбрасываемый член, и меньше его по абсолютному значению.

1.Ряд сходится из монотонно убывающихся чисел: a₁a₂a₃ а …..(все время уменьшается)

2.

  Знакочередующиеся ряды

 Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков.

     Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем обозначать через a_nне сам общий член ряда, а его абсолютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что первый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме^*

a₁-a₂+a₃-a₄+a₅- ...

Степенные ряды

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называетсястепенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀− действительное число.

Степенным рядом называется функциональ­ный ряд вида

                                        (1)

где а₀, a_1, a₂, ..., a_n, ... - постоянные числа, называемыекоэффи­циентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую теорему, очень важную для всей теории степенных рядов.

Теорема1(теоремаАбеля).1)Если степенной ряд сходится при некотором значении х₀, не равном нулю, то он абсо­лютно сходится при всяком значении х, для которого ;

2) если ряд расходится при некотором значении х'₀, то он расходится при всяком х, для которого  .

Радиус и интервал сходимости

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значенийx, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называетсяинтервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде, гдеR > 0, то величинаRназываетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера: