эконометрика кр2 080801

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа №2

по дисциплине «Эконометрика»

(Учебное пособие «Эконометрика»,

автор Лузина Л.И., 2001 г. )

Выполнил:

студент ТМЦДО

специальности 080801

Суслов Алексей Михайлович

12 ноября 2008 г.

г. Нижневартовск

2008 г

Задание

1. Найти несмещенную оценку дисперсии σ², несмещенную оценку среднеквадратического отклонения S1, l=0,p и оценку ковариационной матрицы Σθ0 вектора θ , используя данные ( в тыс. руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) в северных областях России в n = 10 семьях. Данные представлены в таблице. Рассматривается линейная модель вида

Yi = θ0 + θ1xi +εi ,

Где Мεi = 0,

σ² при i=j,

М (εi,εj) =

0 при i≠j.

таблица

№ семьи (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Yi (тыс. руб.)	0,3	0,1	2,2	0,9	4,0	1,7	5,8	2,5	7,5	3,0
Xi (тыс.руб.)	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0

2. По данным n=15 фирм исследована зависимость прибыли Y от числа работающих X вида y= θ0 + θ1x. Была получена оценка дисперсии σ² = 2.2 и обратная матрица

0.31 -0.03

(Xͭ X)ˉ¹= , определить оценку ковариационной матрицы Σθ0.

-0.03 0.05

3. Какая оценка σ² параметра σ² является несмещенной

N 1

а) σ²= * (Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ);

n-p-1 n

N 1

б) σ²= * (Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ);

n-p-1 n²

N 1

в) σ²= * (Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ);

( n-p-1)² n

Решение

1. Найдем несмещенную оценку дисперсии по формуле

σ² = (Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ) \(n-p-1);

Оценку ковариационной матрицы вектора θ определим из выражения

Σθ = σ²(Xͭ X)ˉ¹,

а несмещенную оценку среднеквадратического отклонения определим по формуле

Sl = σ *√a ll, l=0,p

Где a ll – 1-ый элемент матрицы А = (Xͭ X)ˉ¹, тогда, учитывая , что n=10, p=1,получим

σ²=(Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ) \8,

1 1

1 2

1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 10 55

Xͭ X = 1 5 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6 55 385

1 7

1 8

1 9

1 10

0.3

0.1

2.2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.9 28

Xͭ Y= 4.0 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.7 199

5.8

2.5

7.5

3.0

Найдем обратную матрицу

383 - 55 0.47577 -0.06832

(Xͭ X)ˉ¹ = (10*383 –(55)²) ˉ¹ =

- 55 10 -0.06832 0.01242

Тогда вектор оценок коэффициентов регрессии равен

0.47577 -0.06832 28 -0.27412

θ = =

-0.06832 0.01242 199 0.55862

0.3 1 1

0.1 1 2

2.2 1 3

0.9 1 4 -0.27412

Y-Xθ= 4.0 - 1 5 * =

1.7 1 6 0.55862

5.8 1 7

2.5 1 8

7.5 1 9

3.0 1 10

0.3 0,28 0.02

0.1 0,84 -0.74

2.2 1,40 0.80

0.9 1,96 -1.06

4.0 2,52 1.48

= 1.7 - 3,08 = -1.38

5.8 3,64 2.16

2.5 4,19 -1.69

7.5 4,75 2.75

3.0 5,31 -2.31

0.02 0.02

-0.74 -0.74

0.80 0.80

-1.06 -1.06

(Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ) = 1.48 * 1.48 = 26,8267

-1.38 -1.38

2.16 2.16

-1.69 -1.69

2.75 2.75

-2.31 -2.31

Таким образом , несмещенная оценка дисперсии равна

σ²= 26.8267\8 = 3,3533375

σ=√3,3533375= 1,831212

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора θ :

0.47577 -0.06832 1,5954 -0,2291

Σθ = σ²(Xͭ X)ˉ¹=3,3533 =

-0.06832 0.01242 -0,2291 0,0416

2. Найдем оценку ковариационной матрицы вектора θ Σθ = σ²(Xͭ X)ˉ¹=

0.31 -0.03 0.682 0.066

= 2,2* =

-0.03 0.05 0.066 0.11

3. Несмещенная оценка дисперсии находится по формуле

σ² = (Y-Xθ)ͭͭ (Y-Xθ) \(n-p-1). Правильный ответ а)