Томский межвузовский центр

дистанционного образования

Контрольная работа №2

Математика IV

Основы теории вероятностей

и математическая статистика

З. А. Смыслова

Вариант - 8

студент

Задача 1. Тема: «Нормальное распределение».

Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина Х~N(0,1). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Решение:

Имеем стандартное нормальное распределение случайной величины Х. Параметры распределения: а=0, σ =1.

При вычислении вероятности будем пользоваться функцией Лапласа Ф(х), значения которой табулированы, а так же используем свойства этой функции .

Нас интересует вероятность того, что абсолютная величина отклонения величины Х окажется в интервале (2,4;+∞). Имеем:

.

Задача 2. Тема: «Критические точки».

По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найти критическую точку (квантиль х_γ), пользуясь соответствующими таблицами:

а) стандартного нормального распределения; γ=0,96;

б) распределения «хи-квадрат»; γ=0,99, k=8;

в) распределения Стьюдента; γ=0,975, k=12;

г) распределение Фишера; γ=0,95, k₁=10; k₂=14.

Нарисовать примерный вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности α=1-γ, записать пояснения к рисунку.

Решение:

а) γ=0,96. Найдем вероятность α:

Критическая точка х_γ является границей, правее которой, в нашем случае, лежит 4% площади под кривой плотности стандартного нормального распределения. Значит площадь под этой кривой на интервале (0; х_γ) составляет 46% и в таблице значений функции Лапласа ищем значение Ф(х)=0,46. Это значение достигается при х=1,75, т.е. критическая точка х_γ=1,75.

Работу с таблицей Лапласа графически можно показать так:

а) б)

в)

Рисунок 2.1 – Иллюстрация к работе с таблицами Лапласа: а) критическая точка, соответствующая

вероятности α; б) значение функции Лапласа; в) связь между критической точкой и

значением функции Лапласа.

б) γ=0,99, k=8.

Распределение случайной величины К называется распределение «хи-квадрат» с k степенями свободы, К~χ²_(k). Это унимодальное распределение с положительной асимметрией и следующими характеристиками: мода М=k-2, математическое ожидание m=k, дисперсия D=2k. В нашем случае:

.

Для случайной величины К~χ²₍₈₎ и α=0,01. По таблице критических точек распределения «хи-квадрат» находим χ²_кр=χ²(8, 0.01)=20,1. Значит вероятность этой случайной величине К принять значение, большее 20,1 меньше 0,01.

Покажем это графически на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – График плотности распределения χ²_(k).

в) γ=0,975, k=12.

Для случайной величины Х, распределенной по закону Стьюдента с k=12 степенями свободы при α=0,025 находим по таблице одностороннюю критическую точку t_кр=t(k,α)=t(12,0.025)=2,18. Это значит, что при испытаниях вероятность наблюдать значение этой случайной величины, большее t_кр=2,18, меньше α=0,025:

,

т.е. площадь под кривой плотности распределения, лежащая правее критической точки, составляет 100* α % от всей площади (рисунок 2.3). Двухсторонняя критическая точка обозначается t_кр=t(k,α) и для нее:

,

т.е. величина α равна вероятности наблюдать значение случайной величины Х вне интервала (-t_кр; t_кр).

а) б)

Рисунок 2.3 – Односторонняя (а) и двусторонняя (б) критическая точка t_кр

распределения Стьюдента.

г) γ=0,95, k₁=10, k₂=14.

Случайная величина Х с параметрами k₁=10, k₂=14, α=0,05 распределена по закону Фишера, критическую точку найдем по таблице критических точек распределения Фишера:

,

т.е. вероятность получить значение Х, большее 2,6, меньше 0,05. В среднем 95 случаев из 100 будем наблюдать значение, меньшее 2,6.

Рисунок 2.4 – Плотность распределения Фишера для типичных значений параметров k₁ и k₂.

Задача 3. Тема «Интервальные оценки».

Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населения, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9706 клиентов банка опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого клиенту кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95%-го доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности.

Решение:

В задании не сказано, что выборка произведена из нормальной генеральной совокупности Х. Но согласно центральной предельной теореме, для выборки достаточно большого объема, какой и является наша выборка, выборочное среднее будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами и , где а и σ – соответствующие параметры

генеральной совокупности. В этом случае для построения доверительного интервала используем формулу:

,

определяя значение u_кр по таблицам функции Лапласа, т.к. n>30 (n=1000), учитывая, что Ф(u_кр)=γ/2:

,

Доверительный интервал имеет вид:

.

Задача 4. Тема «Проверка статистических гипотез».

Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеет дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости α=0,05.

Решение:

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

Н₀: р=р₀=0,95 – неизвестная генеральная доля р равна заданному значению р₀=0,95. Это вероятность того, что изделие проверяемой продукции окажется соответствующим стандарту, равна 0,95, т.е. продукцию можно принять.

Н₁: р<0,95 – вероятность того, что изделия проверяемой продукции будут иметь дефектов больше, чем указывает производитель, меньше 0,95. При такой альтернативной гипотезе критическая область будет левосторонней.

Наблюдаемое значение статистики К вычислим при заданных значениях р₀=0,95, n=100 и m=92:

.

Критическое значение находим по таблице функции Лапласа из равенства:

;

по условию . Критическая область левосторонняя, т.е. является интервалом (-∞; -К_кр)= (-∞; -1,65). Наблюдаемое значение К_набл= -1,3765 не принадлежит критической области, следовательно на данном уровне значимости нет оснований отклонять основную гипотезу. Утверждения производителя справедливы.