1- 0_Теория вероятностей

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра

Контрольная работа №1

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

учебное пособие Смыслова З. А. «Математика 4. Основы теории вероятностей и

математическая статистика»

Вариант №2

Выполнил

г. Тюмень 2009

Задача 1. Тема: «Пространство элементарных событий»

Образуют ли данные события полную группу событий пространства элементарных событий описанного эксперимента; если два, то являются ли равновозможными; если нет – являются ли несовместимыми?

Эксперимент – бросание двух правильных монет; событие А – «выпало два герба», событие В – «выпало две решки»; событие С – «выпал один герб и одна решка».

Данные события образуют полную группу событий, т. к. в задании перечислены все возможные варианты: «орел-орел», «решка-решка», «орел-решка» (может быть «решка-орел», но т.к. монеты одинаковые, то «орел-решка» или «решка-орел» значение не имеет).

События А. В и С несовместимы, т. к. не могут произойти одновременно.

Задача 2. Тема: «Свойства вероятностей»

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по одному из трех телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события независимы от совокупности. Чему равна вероятность того. Что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов?

Событие А₁ - потребитель увидит рекламу определенного товара по первому каналу.

Событие А₂ - потребитель увидит рекламу определенного товара по второму каналу.

Событие А₃ - потребитель увидит рекламу определенного товара по третьему каналу.

Событие А - потребитель увидит рекламу определенного товара по всем трем каналам.

Событие В - потребитель увидит рекламу определенного товара хотя бы по одному из трех каналов.

По условию задачи:

Р(А₁) = 0,05

Р(А₂) = 0,05

Р(А₃) = 0,05

а) Р(А) = Р(А₁А₂А₃) = Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) = 0,05*0,05*0,05 = 0,000125 по правилу умножения вероятностей, вероятность того события, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по трем каналам равна 0,000125.

б) В = А₁+А₂+А₃, т.к. события А₁, А₂ и А₃совместимы, то вероятность события В можно рассчитать по формуле:

Р(В) = Р(А₁) + Р( А₂ ) + Р( А₃)

Р(В) = 3*(0,05*(1-0,05)²) = 3*(0,05*0,9025) = 3*0,045125 = 0,135375

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного товара хотя бы по одному из трех каналов равна 0,135375.

Задача 3. Тема: «Формула полной вероятности и формула Байеса»

Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течении полугода с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течении ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течении полугода?

Событие А — участок будет продан в течении полугода.

Событие Н₁ — экономическая ситуация не ухудшается в регионе.

Событие Н₂ — экономическая ситуация в регионе ухудшается.

Событие А может произойти только вместе с одним из событий Н₁ и Н₂, причем события Н₁ и Н₂ несовместимы. События А и Н₁, и А и Н₂ зависимые. По условию задачи:

Р(Н₂) = 0,7

Р(Н₁) = 1-Р(Н₂) = 1-0,7 = 0,3

Р(А/Н₁) = 0,9

Р(А/Н₂) = 0,5

Составим дерево решения задачи:

0,3 0,7

Н₁ Н₂

0,9 0,5

АН₁ Н₁ АН А₂

Событие А равно сумме несовместимых событий АН₁ и АН₂, вероятность этого события можно найти по формуле:

Р(А) = Р(АН₁)+Р(АН₂) = Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂) = 0,3*0,9+0,7*0,5 = 0,62

Вероятность того, что участок будет продан в течении полугода равна 0,62.

Задача 4. Тема: «Биномиальное распределение»

Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины Х, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения. Запишите функцию распределения и постройте ее график. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Нефтеразведывательная компания получила финансирования для проведения шести нефтеразведок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Чему равна вероятность того, что не менее двух нефтеразведок принесут успех? Случайная величина Х – количество успешных нефтеразведок.

n = 6 p = 0,05 q = 1-0,05 = 0,95

Таблица распределения

Х=хi	0	1	2	3	4	5	6
P(X=xi)=pi	0,73509189	0,23213428	0,03054398	0,00214344	0,00008461	0,00000178	0,00000002

Многоугольник распределения

Р_n(x=k)=

Р(х=0)=0,050*0,95⁶=0,73509189

Р(х=1)=00,5¹*0,95⁵=0,232134281

Р(х=2)=0,05²*0,95⁴=0,030543984

Р(х=3)=0,05³*0,95³=0,0021434375

Р(х=4)=0,05⁴*0,95²=0,000084609375

Р(х=5)=0,05⁵*0,95=0,00000178125

Р(х=6)=0,05⁶*0,95⁰=0,000000015625

Р() = Р(х=2) + Р(х=3) + Р(х=4) + Р(х=5) + Р(х=6) = 0,030543984 + 0,0021434375 + 0,000084609375 + 0,00000178125 + 0,000000015625 = 0,032773826

Ответ: Р() = 0,03

Задача 5. Тема: «Описательная статистика»

Для приведенных ниже выборочных данных выполнить следующую обработку, пояснив полученные результаты:

А) найти выборочные значения среднего арифметического, моды, медианы;

Б) найти размах выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; проверить выполнение правила «3сигма»;

В) оценить симметричность распределения с помощью первого коэффициента Пирсона;

Г) найти верхнюю и нижнюю выборочные квартили, пояснить их смысл;

Д) построить сгруппированный статистический ряд и гистограмму;

Е) найти модальный и медианный интервалы, сравнить середины этих интервалов со значениями моды и медианы, рассчитанными по выборке.

Измерена продолжительность работы 30 электрических лампочек, десятков часов:

51 56 69 31 56 49 51 53 74 51

63 48 53 51 64 50 59 84 55 82

55 72 70 54 51 77 98 62 73 55

n – объем выборки, n = 30

x_max = 98, x_min = 31

l – число интервалов, l = 7

h – шаг, h = 10

Сгруппированный статистический ряд

Интервал	[31-41)	[41-51)	[51-61)	[61-71)	[71-81)	[81-91)	[91-101)
Середина интервала, хi	36	46	56	66	76	86	96
Частота, ni	1	3	14	5	4	2	1
Относительная частота, 𝝑i	0,03	0,10	0,47	0,17	0,13	0,07	0,03

– среднее арифметическое

= 66

М(х) – математическое ожидание

М(х) = х₁𝝑₁+х₂𝝑₂+…+х_i𝝑_i

М(х) = 36*0,03 + 46*0,10 + 36*0,47 + 66*0,17 + 76*0,13 + 86*0,07 + 96*0,03 = 1,08 + 4,6 + 26,32 + 11,22 + 9,88 + 6,02 + 2,88 = 62

М(х) = 62 (x) – выборочная дисперсия

(x) = M(x²) – (M(x))²

	1296	2116	3136	4356	5776	7396	9216
𝝑i	0,03	0,10	0,47	0,17	0,13	0,07	0,03

М(х²) = 1296*0,03 + 2116*0,10 + 3136*0,47 + 4356*0,17 + 5776*0,13 + 7396*0,07 + 9216*0,03 = 38,88 + 211,6 + 1473,92 + 740,52 + 750,88 + 517,72 + 276,48 = 4010

(х) = 4010 – (62)² = 4010 – 3844 = 166

(х) = 166

(х) – выборочное среднее квадратическое отклонение

(х) =

(х) = = 12,88

Гистограмма

h_i =

n_i – частота;

n – объем выборки, n = 30;

d – длина интервала, d = 10

h₁ = = 0.0033

h₂ = = 0.01

h₃ = = 0.047

h₄ = = 0.017

h₅ = = 0.013

h₆ = = 0.0067

h₇ = = 0.0033

М (варианта, которая имеет наибольшую частоту) – мода

М = 56

Модальный интервал [51;61)

Х_0,5 – медиана

Х_0,5 = = 66

Медианный интервал [61;71)

q₁ – нижняя квантиль

q₂ – средняя квантиль = медиана

q₃ – верхняя квантиль

q₁ = x_0,25

q₁ = = 48,5

q₂ = 56

q₃ = x_0,75

q₃ = = 83,5

R – размах выборки

R = x_max - x_min

R = 98-31 = 67

Правило «три сигма»

( - 3; + 3)

(66 – 3*12,88; 66 + 3*12,88) = (66 – 38,64; 66 + 38,64) = (27,36; 104,64)

Оценка симметричности с помощью первого коэффициента Пирсона

М – мода

М = 56

Х_0,5 – медиана

Х_0,5 = 66

m_x – математическое ожидание

m_x = 62

f(x)

x

M m_x x_0,5

Знак асимметрии определяют по расположению кривой распределения относительно моды: если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева, то отрицательна. Т. к. по нашим данным и по рисунку «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна.

Коэффициент Пирсона

А₁ =

- среднее арифметическое

= 66

- математическое ожидание

= 62

- выборочное среднее квадратическое отклонение

= 12,88

А₁ = = 0,31

Коэффициент А₁ достаточно близко к нулю, т. е. можно принять, что данная выборка извлечена из генеральной совокупности с симметричным законом распределения.