Томский межвузовский центр дистанционного образования
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании (КСУП)
Контрольная работа № 1
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
(Учебное пособие «Математика IY. Основы теории вероятностей и математическая статистика» З. А. Смыслова Томск - 2000)
Тема: Контрольная работа № 1
Вариант 4
Задача 1. Тема: «Пространство элементарных событий»
Образуют ли данные события полную группу событий пространства элементарных событий описанного эксперимента; если два, то являются ли равновозможными; если нет — являются ли несовместными?
Вариант 4
Эксперимент — бросание игрального кубика; событие A — «выпало одно или два очка», событие B — «выпало два или три очка»; событие C — «выпало три или четыре очка»; событие D — «четыре или пять очков»; событие E — «пять или шесть очков».
Решение.
Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пространство элементарных событий есть множество
={1,2,3,4,5,6}, элементарное событие – число очков на верхней грани.
Событие A– «выпало одно или два очка» - есть множество элементарных событийA={1,2};
В – «выпало два или три очка» есть множество
B={1,2};
С={1,2};
D={1,2};
E={1,2};
таким образом, данные события образуют пространство элементарных событий, т. к. описаны все возможные исходы эксперимента. (Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.) Ведь в результате нашего эксперимента произойдет одно из этих событий. При этом все события равновозможные, т. к. кубик симметричен. (Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям Симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.)
Задача 2. Тема: «Свойства вероятностей»
Вариант 4
Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропортов, надеется получить контракт в стране A с вероятностью 0.4, вероятность заключить контракт в стране B равна 0.3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране A, и в стране B, равна 0.12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
Решение.
P(A) =0,4
P(B) =0,3
P(AB)=0,12
Обозначим события:
A – компания получит контракт в стране A
B – компания получит контракт в стране B
C – компания получит контракт хотя бы в одной стране
AB – контракты будут заключены и в стране A и в стране B
По правилу сложения вероятностей, вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
Рассмотрим событие C=A+B. Т. к. события A и B совместны, вероятность C можно найти по формуле:
P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,4 + 0,3 – 0,12=0,58
P(C) – вероятность, что компания получит контракт хотя бы в одной стране – равна 0,58.
Задача 3. Тема: «Формула полной вероятности и формула Байеса»
Вариант 4
Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0.4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?
Решение.
Событие:
A – тест указал на присутствие нефти
Гипотезы:
H1 – нефть есть
H2 – нефти нет
Вероятности:
P(H1)=0,85
P(H2)=0,1
Вероятность, что нефть есть:
PH1(A)=0,4
PH2(A)=1 – 0,4 = 0,6
Вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности, равна 0,85.
Задача 4. Тема: «Биномиальное распределение»
Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины X, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения. Запишите функцию распределения и постройте ее график. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.