Курсовая и некоторая графика к ПЗ по ОК / 6 Качка

6. КАЧКА.

6.1. Расчет свободных колебаний судна.

Расчет будем вести только применительно к бортовой качке судов, при этом используем линейное уравнение качки.

Бортовую качку будем считать происходящей независимо от других видов качки.

Линейное уравнение бортовой качки судна по[4] записывается в виде.

(Ix + Δix)·Ö + Nθ·Ó + D·g·h·θ = 0 – уравнение свободных бортовых колебаний судна на тихой воде. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ix- момент инерции массы судна относительно центральной оси X.

Δix – момент инерции присоединенной массы воды относительно той же оси (если колебания происходят в воздухе, то Δix = 0).

θ-угол крена; Ö – угловое ускорение.

Nθ – коэффициент сопротивления при бортовой качке.

Разделим на коэффициент при старшей производной:

Ö + NΘ/(Ix + Δix)·Ó + D·g·h·θ = 0.

Введем новые обозначения: 2·γθ = Nθ/(Ix + Δix); λ²θ = D·g·h/(Ix + Δix). Таким образом уравнение принимает вид: Ö + 2·γθ·Ó + λ²θ·θ = 0. В этом уравнении λΘ – частота бортовых колебаний.

В случае отсутствия сопротивления (2·γθ = 0) уравнение запишется следующим образом: Ö + λ²θ·θ = 0. Его решение примет вид: θ = θ0·cos(λθ·t), где θ0 определяется из начальных условий.

Определим частоту и период свободных колебаний проектируемого судна:

λθ =[(D·g·h)/(Ix+Δix)]¹´²; Tθ =2·π/λθ.

Если известно распределение масс по длине судна, то, пользуясь правилом трапеций можно определить моменты инерции массы. Если же нет такого распределения, то можно воспользоваться приближенной формулой Дуайера[4]:

Ix = (1/12)·D·(B²+ 4·(Zg )²) = (1/12)·4969·(13.4²+ 4·(4.68)²) = 110647 (т·м²).

Присоединенный момент инерции расчитаем по графику 2.43 [7]:

ΔIx = 0.2·Ix = 0.2·110647 = 22129 (т·м²).

Тогда λθ = [4969·9.81·1.058/(110647+22129)]¹´² = 0.62 (1/c);

Tθ = 2·3.14/0.62 = 10.13 (c.).

При таких значениях частоты и периода качка будет резкой и порывистой, что неприемлимо для пассажирского судна (Tθ>15c по Регистру[6]), но для грузового судна эти значения можно оставить.

Коэффициент сопротивления определяем по формуле Бертена[4]:

Nθ = 0.85·k·L··λ·θm (6.1)

Коэффициент k = 0.002 для судов с полными обводами (по [4]); θm – ожидаемая амплитуда качки в радианах. Из главы “Остойчивость” известен θ = 27.94º = 0.488 (рад.).

Вообще угол крена при качке определяется по косинусоидальному закону:

θ = θm·cos(λθ’ + φ),

где φ – сдвиг по фазе.

С учетом сил сопротивления частота свободных колебаний будет: λθ’= (λθ – γθ)¹´², тогда Nθ = 0.85·0.002·94.53·(179.56) ²·0.62·0.488 = 1568.

Определяем частоту и период собственных килевых колебаний судна по формулам из [4]:

λψ = (D·g·H/(Iy + Δiy))¹´², Tψ = 2·π/λψ. (6.2)

H – продольная метацентрическая высота.

Момент инерции массы относительно оси Y равен:

Iy = 0.07·α·D·L² = 0.07·0.896·4969 · (94.53)² = 2784930 (Т·м²). (6.3)

Момент инерции присоединенной массы воды относительно той же оси равен по[4]:

Δiy = ξ1∙ξ2·ξ3·π/48·ρ·L³·B²·α²/((3-2·α)·(3 –α)),

где ξ3 – коэффициент килеватости днища, в моем случае ξ3 = 1, днище плоское; ξ2 - коэффициент, учитывающий отношение T/B, ξ2 = 1 [4]; ξ1 –коэффициент, учитывающий влияние растекания жидкости в продольном направлении:

ξ1 = (L/B)/(1+(L/B)²)¹´²·[1 – 0.425·(L/B)/(1+(L/B)²]

(6.4)

ξ1 = 7.054/(1+49.76)¹´²·[1 – 0.425·7.054/(1+49.76)] = 0.932.

Таким образом, получаем:

Δiy = 0.932·3.14/48·1.025·(94.53)³(13.4)²·(0.896)²/((3-2·0.896)·(3-0.896))

Δiy = 2993986 (Т·м²), H = 168.6(м).

Тогда частота и период собственных килевых колебаний судна по[4] равны:

Λψ =(4969·9.81·168.6/(2784930 + 2993986))¹´² = 1.193 (1/c);

Tψ = 2·3.14/1.193 = 5.26 (c).

Частота и период собственных вертикальных колебаний по[4] определяются по формулам:

Λz = (ρ·g·S/(D + ΔM))¹´²; T = 2·π/λz. (6.5)

В этих формулах S – площадь КВЛ, S = α·L·B = 0,896·94,53·13,4 = 1135 (м²); ΔM - присоединенная масса воды по[4]:

ΔM =ρ· ξ1·ξ2·ξ3·L·B²·α²/(1+α) = 1.025·0.932·94.53·(13.4)²·(0.896)²/1.896 = 6868 (Т).

Тогда λz = (1.025·9.81·1135/(4969 + 6868))¹´² = 0.982 (1/c); Tz = 2·3.14/0.982 =6.4(c).

6.2. Расчет вынужденных бортовых колебаний судна.

Для расчета вынужденных бортовых колебаний используется упрощенное уравнение бортовой качки:

Ö + 2·μθ·θ̀ + ωθ²·θ = M(t)/(Ix + Δix). (6.6)

Μθ – коэффициент затухания, в моем случае 2·μθ = 0,012. Ограничения для μθ по Регистру[6] 0.05 < μθ < 0.1.

wθ – частота собственных бортовых колебаний.

M(t) – внешний возмущающий момент, вызывающий бортовую качку,

M(t) = D·g·h·α0·sin(σ·t), где α0 – максимальный угол волнового склона, σ – частота волнения.

Считаем в пределах ширины корпуса волновой профиль плоским и отношение длины волны к ширине судна большим.

Если известна амплитуда волны rв и длина волны λ, то угол волнового склона: α0 = 2·π·rв/λ. Высота и длина волны связаны между собой эмпирической формулой Циммермана[4]:

h = 0.17 · (λ). (6.7)

Высота волны в зависимости от класса судна принимается по Регистру[6].

В частности для проектируемого мной судна высота волны 3% обеспеченности принимается h = 8.5 м, следовательно амплитуда rв = 4.25 м.

Теперь вычислим длину волны, пользуясь формулой Циммермана[4]:

λ = (8.5)/(0.17)= 184 (м).

Угол волнового склона равен: α0 = 2·3.14·4.25/184 = 0.145 ( рад) = 8.3º.

Амплитуда вынужденных бортовых колебаний определяется по формуле по[4]:

Θ = α0/((1 – (σ/ωθ)²)² + 4·μθ²·(σ/ωθ)²)¹´². (6.8)

По рекомендациям [4] для судов со скуловыми килями можно принять 2·μθ = 0.14.

Расчет удобно вести в виде таблицы.

Таблица 6.1 - Амплитудно – частотная характеристика

σ/ωθ	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
η	1.000	0.960	0.842	0.646	0.378	0.140	0.471	0.980	1.576	2.250	3.013
Θº	8.300	8.646	9.857	12.85	21.96	59.29	17.62	8.469	5.266	3.689	2.755

Пояснение: η = ((1 – (σ/ωθ)²)² + 4·μθ²·(σ/ωθ)²)¹´².

Сама характеристика представлена на Рисунке 6.1.