Теоретическая Часть Типовика № 2 «исследование Функций» По Высшой Математике (Старинец В. В.)

Типовой индивидуальный расчет №2

«Исследование функций»

3.1. Теоретические вопросы

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка х=а, х=b обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка с (a, b,) , в которой f `(c)=0

Теорема Лагранжа.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех его внутренних точках, то найдется такая точка с , что выполняется f(b) - f(a) = f `(c) ( b - a ) .

Теорема Коши.

Если функция f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы внутри отрезка, причем `(x) ≠ 0 , тогда внутри отрезка [a, b] найдется точка с , такая что

.

2. Какая связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной?

Если функция y=f(x) имеющая на отрезке [a,b] возрастание (убывание), то ее производная на отрезке [a,b] отрицательная (положительная).

3. Какая точка называется точкой локального экстремума функции?

Точка называется точкой локального максимума(минимума) функции f(x) , если существует окрестность точки в множестве Х , такая что ( ) в любой точке и .

4. Как расположена касательная к графику функции в точке экстремума?

В точке экстремума касательная к графику горизонтальна.

5. Сформулировать достаточные условия экстремума функции.

Для того, что бы точка , была точкой экстремума функции f(x), определенной в окрестности точки , необходимо выполнении одного из двух условий – либо функция не имеет производной в , либо эта производная существует и равна нулю.

6. Дать определение выпуклости и вогнутости графика и его точек перегиба.

Кривая называется выпуклой вверх на интервале (a;b) , если она расположена ниже касательной, проведенной в любой её точке. Кривая называется выпуклой вниз на интервале (c;d) , если она расположена выше любой ее касательной на этом интервале. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку , имеет на этом интервале вторую производную, за исключением, быть может, самой точки , тогда если или не существует и при переходе аргумента через производная меняет знак, то точка является точкой перегиба кривой .

7. Какова связь между выпуклостью и вогнутостью графика и знаком ее второй производной?

Если во всех точках интервала (a;b) , то кривая выпукла вверх. Если во всех точках интервала (c;d) , то кривая выпукла вниз.

8. Сформулируйте достаточные условия существования точек перегиба.

Если вторая производная функции при переходе через точку меняет знак, то функция в этой точке имеет перегиб, т.е. функция в этой точке меняет вогнутость.

Если в данной точке производная (n-1)-го порядка обращается в ноль, а производная n-го порядка (не четная) не обращается в ноль, то в этой точке функция имеет перегиб.

9. Что называется асимптотой кривой? Что можно сказать о функции, если она имеет горизонтальную (вертикальную) асимптоту?

Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Асимптоты, параллельные оси ординат, называют вертикальными, а непараллельные оси ординат – наклонными. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная, т.е. параллельная оси абсцисс.

10. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

Прямая является наклонной асимптотой при , если , при условии того, что оба указанных предела существуют.

Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.