Лекции 1

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Введение

Теория принятия решений (ТПР) – наука, основанная на количественных методах для обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности. Или другое определение: ТПР – совокупность математических и числительных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив (позволяющих избежать их полного перебора).

Размерность задач, как правило, велика, поэтому принятие оптимальных решений ориентирована на реализацию с помощью вычислительной техники (ЭВМ).

Считается, что начало этой науки положил в XVIII в Жозеф Луи Лагранж. Он решал вопрос: сколько земли должен брать на лопату землекоп, что бы его работа была наиболее производительной. Оказалось что тезис «бери больше, кидай дольше» не является оптимальным.

Однако современная наука оформилась только во второй половине XX века. Это связано со следующими причинами.

1. Удорожание «цены ошибки» - сложнее, дороже и масштабнее стали планируемые мероприятия, увеличилась опасность волевого решения

2. Ускорение НТР (научно-технической революции) - опыт не успевал накапливаться.

3. Развитие ЭВМ – возможность решать сложные трудоемкие задачи, анализировать сложные системы.

Следует остановиться на дисциплинах, которые близки к ТПР.

Теория систем – наука изучает элементы (объекты, внутренние состояние которых нас не интересует), связи (взаимообмены между элементами), системы (совокупность элементов (любой объект можно рассматривать как элемент, вопрос – целесообразно ли это) и связей между ними), большие системы (системы, состоящие из однотипных элементов и связей, например, трубопровод), сложные системы (системы, состоящие из разнородных элементов и разнотипных связей, например, ЭВМ, автомобиль). При этом рассматриваются автоматические системы (самоуправляемые) и автоматизированные (управление техническими средствами и человеком). Последнее предпочтительнее для сложных систем (например, управление самолетом при полете бортовым компьютером (автопилотом), но взлет и посадка – с помощью человека), в которых, как правило, решение принимается техническим устройством, но утверждается человеком.

Системный анализ – изучает исследование проблем принятия решений в сложных системах в условиях анализа большего количества информации различной природы.

Кибернетика – наука об управлении и преобразовании информации.

Исследование операций – исследование математических моделей для выбора величин, оптимизирующих заданную математическую конструкцию.

Кроме того, существуют такие дисциплины, как математическое программирование, линейное программирование, стохастическое программирование и другие, которые лучше рассматривать как разделы ТПР, а не отдельные дисциплины (о них пойдет речь ниже).

Введем следующие понятия.

Операция – всякое мероприятие, направленное для достижения цели.

Цель исследования операций – количественное обоснование оптимальности решения.

Решение – выбор параметров, характеризующих решение.

Оптимальное решение – решение, предпочтительное перед другими.

Множество допустимых решений (или область допустимых значений - ОДЗ) – заданные фиксированные условия, которые не могут быть нарушены.

Показатель эффективности, или целевая функция, - количественная мера, позволяющая сравнивать решения по их эффективности.

Следует также отметить, что задачи ТПР могут быть: статическими (система не меняется) и динамическими (состояние системы меняется со временем). Например, ремонт автомобиля – статическая задача, а поведение водителя при вождении – динамическая. Кроме того, различают детерминированные (определенные) задачи (имеется полная информация о системе), стохастические задачи (известна вероятность того или иного поведения системы) и неопределенной (ничего не известно о вероятностном поведение системы). Например, открутится ли гайка при ремонте автомобиля – вероятностная задача, а поведение неопытного или нетрезвого водителя на трассе – неопределенная задача.

Подытоживая вышеизложенное и конкретизируя задачи можно сформулировать цель и постановку задачи ТПР.

Цель и постановка задачи

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Задача заключается в максимизации (нахождении максимума) или минимизации (нахождении минимума) показателя эффективности, или целевой функции, . В общем случае вектор размерностью .

Одноцелевое решение, если - скаляр.

Многоцелевое решение, если - вектор, т.е. целевая функция описывается несколькими показателями.

Вектор параметров , характеризующий решение, как правило всегда вектор размерностного , иначе задача сводилась бы просто к нахождению максимума или минимума функции

На параметры накладываются ограничения:

- в виде равенств ;

- в виде неравенств или ;

- в виде ограничений областей

Кроме того, различают принятие решения в условиях определенности, когда исходные данные точно заданы (детерминированы), и в условиях неопределенности, когда исходные данные случайные или известно хотя бы вероятностное значение исходных данных.

Наиболее разработан аппарат одноцелевого принятия решения в условиях определенности, которое называется математическим программированием, которое подразделяется на следующие дисциплины:

- линейное программирование, если - линейные функции;

- нелинейное программирование, если указанные соотношения не линейные;

- целочисленное или дискретное программирование, если параметры принимают целочисленные или дискретные значения;

- динамическое программирование, если параметры зависят от времени.

Принятие многоцелевых решений рассматривается отдельно.

Принятие одноцелевых решений в условиях неопределенности рассматриваются в разделах:

- стохастическое программирование, если известны законы распределения случайных величин;

- теория игр и статистических решений, если закон распределения случайных величин не известен.

Кроме того, отдельно рассматриваются марковские процессы в принятии решений.

Наиболее часто используемые методы оптимизации – методы линейного программирования. Они наиболее распространены и изучены. По данным американских экспертов около 75% общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. На задачи линейного программирования приходится 25% машинного времени, затраченного на проведение научных исследований. Поэтому этим методам и уделим основное внимание.

3