1. Операторный метод позволяет упростить процедуру решения дифференциальных уравнений.

2. Операторный метод позволяет существенно упрощать анализ эквивалентных электрических схем. Рассмотрим электрическую схему:

.

Без учёта начальных условий уравнение можно преобразовать к виду

, . Или_,

Рассмотренную схему можно представить в виде последовательности операторных сопротивлений и анализировать ее, как цепь постоянного тока.

Кстати, формулы при переходят в известные из электротехники формулы символического метода .

Однако, символический метод и понятие реактивного сопротивления применимы только для гармонических процессов с определённой частотой ω (цепей синусоидального тока ). Мы же обобщили этот метод на произвольные процессы (не обязательно синусоидальные или периодические).

3. Моделирование процессов в частотной области и операторный метод позволяют упрощать структурные схемы (интеграторы заменяются усилителями и сумматорами).

4. Моделирование систем в частотной области (с помощью операторного метода) позволяет не только упрощать математический аппарат, но и определять свойства систем при произвольных стимулах (исследовать систему, не проводя полного решения динамических уравнений).

6.3. Системная функция

Пусть имеется динамическое уравнение.

…+a₁y''+b₁y'+c₁y=…+a₂x''+b₂x'+c₂x.

Перейдём к изображениям X(p) и Y(p).

…+a₁(Yp²-y₀p-y₀)+b₁(Yp-y₀)+c₁Y=…+ a₂(Xp²-x₀p-x₀)+b₂(Xp-x₀)+c₂X.

Теперь не трудно выделить в явном виде реакцию системы

В более общем виде можно записать

Y(p)=H(p)X(p)+F(p, нач. усл), начальные условия: y₀, y₀', x₀ , x₀' ,

Таким образом нам удалось представить связь между реакцией и стимулом в виде простой линейной зависимости. Первое слагаемое – это вынужденная реакция (РНС), второе слагаемое – собственная реакция (РНВ). В устойчивых системах собственная реакция затухает со временем, поэтому связь между стимулом и реакцией еще больше упрощается

Y(p)=H(p)X(p) .

Однако пребрегая вторым слагаемым, будем помнить, что оба слагаемых имеют одинаковые знаменатели. Это нам понадобится для определения свойсв собственной реакции системы.

Системная функция H(p)=(a₂p²+b₂p+c₂)/(a₁p²+b₁p+c₁)

показывает, как входной сигнал (стимул) проходя через систему трансформируется в выходной сигнал (реакцию системы).

Разложим числитель и знаменатель системной функции на множители

.

Нулями системной функции называются корни многочленов в числителе, при которых H(p)=0.

Нули системной функции показывают виды входных воздействий (точнее комплексные частоты стимулов), на которые система не будет реагировать, т.е. виды входных сигналов, которые система пропускать не будет

Полюсами системной функции называют корни многочленов в знаменателе, при которых H(p)→∞ .

Полюсы системной функции показывают собственную реакцию системы (точнее комплексные частоты собственных реакций), а также вид стимула, при котором может происходить резонанс системы.

Значения полюсов и нулей, нанесённые на комплексную плоскость в виде точек, называют диаграммой полюсов и нулей системной функции.

Теперь поясним, почему нули и полюса обладают такими свойствами.