6.4 Анализ системы по диаграмме полюсов и нулей
Системную функцию можно представить в следующем виде:
H(p)=
Причем так можно представить как первое слагаемое (вынужденную реакцию), так второе слагаемое (собственную реакцию). Просто в первом случае коэффициенты A1, A2…будут зависеть от вида стимула, а во втором случае – от начальных условий. Вначале рассмотрим собственную реакцию.
Оригиналами
приведенных изображений являются
функции
.
Таким образом, полюса определяют вид
оригинала – функции
y(t),
а нули только влияют на коэффициенты
A1,
A2…
Вот почему полюса системной функции показывают собственные реакции и ту часть вынужденной реакции, которая зависит от свойств системы.
Если полюс р*=0, то реация системы y(t)=e0t=1 – константа
Если полюс действительный (р*=±α) , то реакция у(t)=Ae±αt имеет вид затухающей или возрастающей экспоненты.
Если полюс мнимый (р*=±jω), у(t)=Ae±jωt , то реакция будет гармоническая, то есть содержать sin ωt или cos ωt. Причем мнимые полюса всегда комплексно сопряженные,. поэтому на диаграмме полюсов и нулей можно рассматривать только верхнюю полуплоскость.
Если полюс комплексный р*=α+jω, то реакция имеет вид y(t)=eαtsin ωt или y(t)=eαtcos ωt.
Таким образом, диаграмма полюсов сразу показывает возможную реакцию системы.
Корни могут быть
кратными (p-p*)2,
(p-р*)3,
тогда системная функция будет содержать
слагаемые:
,
и
т.д. Их изображениями будут реакцииy(t)=te
p*t,
y(t)=t2e
p*t
и т.д. (та
же функция, но умноженная на t
,
t2
). Кратные
полюса можно на диаграмме обозначать
особыми символами.
Теперь рассмотрим вынужденную реакцию. Умножения H(p) на X(p) приведет к появлению новых полюсов, но это будут полюса стимула. Их тоже можно наносить на диаграмму. Причем нет необходимости искать целиком полную реакцию системы. Просто, зная вид стимула, можно по таблице «оригинал – изображение» найти полюс стимула и нанести его на диаграмму.
Сформулируем теперь свойства полюсов системной функции
1. Диаграмма полюсов системной функции полностью определяет собственную реакцию системы
2. Диаграмма полюсов системной функции полностью определяет ту часть вынужденной реакции, которая зависит от свойств системы.
3. Диаграмма
полюсов определяет вид стимулирующего
воздействия, при котором может происходить
резонанс. Действительно,
если
и
,
то
.
При разложении будет член
,
которому соответствуетy(t)=Atep*t.
Например, при p*=0 y(t)=At; при p*=±jω y(t)=At sin(ωt) и т.д. За счёт множителя t реакция будет линейно возрастать, хотя входной сигнал x(t) остается ограниченным x=A0, или x=A0sin(ωt).
4. Диаграмма полюсов и полюс стимула определяют, от чего будет зависеть со временем реакция системы. Для того, что бы со временем превалировала реакция, обусловленная входным сигналом, необходимо, что бы полюс стимула лежал правее самого правого полюса системы. Для того, что бы со временем реакция определялась исключительно свойствами системы, необходимо, чтобы полюс стимула лежал левее самого левого полюса системы (или хотя бы левее самого правого полюса системы).
5. Диаграмма полюсов определяет устойчивость системы. Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюса системы были расположены в левой полуплоскости. Тогда все собственные реакции будут иметь затухающий характер e-αt, e-αtsinωt и т. д.
6. Для того, чтобы система была неустойчива, необходимо и достаточно, чтобы хоть один полюс системы располагался в правой полуплоскости. Тогда он даст собственную реакцию eαt или eαtsinωt, со временем реакция становится бесконечно большой.
Промежуточным является случай, когда полюса лежат на мнимой оси. Система устойчива, за исключением случая резонанса. При x=sin(p*t) y=tsin(p*t), т. е. y(t)→∞, хотя x(t) остаётся конечным.
Свойства нулей системной функции
Информации в диаграмме нулей содержится меньше, чем в диаграмме полюсов. Диаграмма нулей системной функции показывает виды входных воздействий, на которые система не будет реагировать, т.е. виды входных сигналов, которые система пропускать не будет.
Пусть H=f(p)(p-p0), а x(t)=Aep*t, тогда X=А/(p-p*). Если ноль системной функции p0 совпадает с полюсом стимула p*= p0, то выражение
Y = H*P = f(p)(p-p0)А/(p-p*) = f(p)А не будет содержать слагаемого
A/(p-p*), он просто сократится. Следовательно, реакция системы не будет содержать члена, повторяющего по форме вид стимула.