- •Уфа 2014
- •Методика выполнения курсовой работы
- •1 Предварительный расчет I
- •2 Теорема о движении центра масс
- •3 Теорема о движении центра масс
- •4 Предварительный расчет II
- •5 Дифференциальные уравнения движения
- •6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •7 Общее уравнение динамики
- •8 Уравнение Лагранжа 2-го рода
- •Список литературы
3 Теорема о движении центра масс
Расположив на горизонтальной поверхности упор, ограничивающий перемещение тела 3, написать теорему о движении центра масс системы в проекциях на ось Ox. Далее используя связь между ускорениями тела 1 и тела 2, полученную дифференцированием, уравнения связи между соответствующими скоростями, определить горизонтальную реакцию Rx этого упора, выразив ее как функцию ускорения тела 1.
Теорема о движении центра масс.
Для системы:
(3.1)
(Упор ставим справа от призмы, не давая ей сдвигаться по Ох вправо)
Обозначим: ,=,= (++)
Подставив в (3.1):
(3.2)
Перемещения тел вдоль оси Ox:
(3.3)
так как призма не движется,
Продифференцируем дважды по времени:
(3.4)
Подставив в (3.2), получим:
-(3.5)
Используя кинематические связи и подставляя числовые значения для в (3.5):
;
4 Предварительный расчет II
В данном пункте и во всех последующих считать призму 3 неподвижным основанием. Движение всех остальных тел по призме рассматривать происходящим при действии их сил тяжестей, а также силы F и момента M. Для выяснения направления движения системы тел выполнить предварительный условно статический расчет по аналогии с п. 1.
Тело 2 :
∑mcv=0
Блок B:
|T2|=| T’2|;
∑mB=0,
Тело 1:
Блок А:
|T1|=|T’1|, |TB|=| T’B|,
Сумма моментов для блока А:
=> тело 1 движется вниз, тело 2 движется влево
5 Дифференциальные уравнения движения
Составить дифференциальные уравнения движения каждого из тел системы и из их совместного решения найти скорость и ускорение центра масс тела 1, силы натяжения каждого из участков нити, силу трения сцепления катка 2.
Каток 2:
Уравнение умножим наи прибавим уравнение
Заменим начерез соотношения из п.2 и подставим числовые значения:
300*0,57**3+*0,19*;
1211,25*;
Блок В:
625*0,67*=3*-2*(173,04*+1085,71) ;
;
Блок А:
112,5*=*1-2*(254,94*+723,81) ;
=622,38*+1447,62 ;
Тело 1:
200*= -622,38*-1447,62-100+1732,05+1000 ;
822,38*=1184,43 ;
=1,44 м/;
Подставляя числовые значения:
;
;
;
Из (5.3) определим силу трения сцепления катка:
=1088,64 ;
Определим коэффициент трения катка 2:
Или
Определим скорость центра масс тела 1 как функцию его перемещения.
Проинтегрируем выражения для ускорения первого тела
=
, так как при , а, следовательно, и.
Итак:
=1,7
6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Найти скорость как функцию перемещения и ускорение центра масс тела 1 с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.
Теорема об изменении кинетической энергии:
Для данной системы:
В момент времени :
Тогда теорема примет вид:
Полная кинетическая энергия в конечном положении:
,
где ,,моменты инерций блоков А,В и катка 2
(6.4)
Используя выражения для кинематических связей между скоростями, получим:
(6.5)
Подставим числовые данные в выражение (6.5):
==411,6
T=411,6(6.6)
Распишем правую часть (6.1):
(6.7)
Используя кинематические связи и подставляя их в (6.7) имеем:
(6.8)
Подставляя числовые значения в (6.8):
(6.9)
Следовательно, мы подтвердили результат расчета пункта 4.4
Приравняв друг другу выражения (6.6) и (6.9) получим следующее соотношение:
= (6.10)
Продифференцируем (6.10):
.