7 Общее уравнение динамики

Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью общего уравнения динамики.

Для данной системы обще уравнение динамики имеет вид:

(7.1)

Гдеэлементарные работы активных сил и сил инерции на возможных перемещениях.

Где (7.2)

(7.3)

Силы и моменты инерции тел 1, А, В и 2 соответственно равны:

; ;;;

Для тела 1:

(7.4)

Для блока А:

(7.5)

Для блока B:

(7.6)

Для колеса 2:

(7.7)

Выразим возможные перемещения системы через перемещения тела 1.Из выражения:

С учетом кинематических соотношений получим:

= 0 (7.8)

Преобразуем выражение (7.8), сократив все члены уравнения на и перенеся в правую часть члены, содержащие:

(7.9)

Подставим числовые значения в (7.9)

.

8 Уравнение Лагранжа 2-го рода

Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.

Уравнение Лагранжа второго рода.

(8.1)

полная кинетическая энергия системы

–обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате

Блоки А, В и каток 2 считаем однородными цилиндрами.

Найдем полную кинетическую энергию системы:

,

Используя числовые данные, для моментов инерций блоков А и В, катка 2, а также выражения для кинематических связей между скоростями, получим:

(8.4)

Вынесем в (8.4) за скобку общий множитель:

Так как , то получим частную производную кинетической энергииизпо обобщенной.

, так как кинетическая энергия не зависит от координаты.

Дифференцируем по времени:

(8.7)

(8.8)

полная работа всех активных сил и моментов. Каждый из элементов получит возможные перемещения:

, _{, ,},

(8.9)

Кинематическая связь между возможными перемещениями:

;

;

; (8.10)

;

Найдем работу всех активных сил и моментов для каждого тела:

(8.11)

Или с помощью (8.10) получим:

Тогда, подставив в (8.8) (8.11) :

Или:

Подставив в уравнение Лагранжа второго рода (8.1), (8.7) и , получим:

Подставим числовые значения в

Список литературы

1. Колесников К.С. Курс теоретической механики.: МГТУ им. Н.Э. Баумана; 2005 -736 с.

2. Динамика: Учебное пособие по дисциплине «Теоретическая механика» / В.М. Горбаненко; УГАТУ; Уфа, 20013. – 96с.

3. Динамика механической системы: Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. Задание 3Д. /УГАТУ; Сост.: Ковган С.Т. – Уфа, 2006. - 29с.

4. Аналитические методы динамики. – Задание 4Д. Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. УГАТУ; Сост.: Ковган С.Т. – Уфа, 2010. – 26с.