1. Смоделировать различные виды сигналов и получить их спектры в spTool (Signal Processing Tool).

2.Создать многочастотный сигнал на фоне сильного шума, создаваемого генератором случайных чисел согласно своему варианту.

3. Построить график спектральной плотности полученного сигнала с помощью прямого преобразования Фурье.

Парам. Вар.	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1	2	1	1	1	1	2
	1	2	1	1	1	2	2	1
, Гц	100	100	100	100	100	100	100	100
, Гц	200	200	200	200	200	200	200	200
, рад	0	0	0	0		0		0
, рад	0	0	0		0		0

Часть 3

Цель работы: закрепление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)

Необходимые теоретические сведения

Преобразование Фурье дает спектральные составляющие для фиксированного набора частот, однако реальная частота сигнала может не совпадать ни с одной из этих частот. В этом случае наблюдается эффект расширения (англ. leakage "растекание") спектра, который заключается в том, что на спектре появляются ложные гармоники реальной частоты сигнала. Для снижения эффекта расширения спектра применяют взвешивание, т.е. умножение значений временного сигнала на весовые коэффициенты.

Определенный набор весовых коэффициентов называется весовой или оконной функцией (window). Это позволяет ослабить влияние разрывов, возникающих на стыках фрагментов сигнала при его периодическом продолжении.

Пакет Signal Processing Toolbox содержит примерно полтора десятка функций для расчета различных окон.

Простейшим является прямоугольное окно, реализуемое функцией rectwin Прямоугольное окно соответствует отсутствию взвешивания, данная функция включена в состав пакета лишь для формальной полноты набора весовых функций. Треугольное окно реализуется функцией triang, треугольную форму имеет и окно Бартлетта (функция bartlett), оно лишь несколько отличается способом расчета. Несколько весовых функций являются комбинациями гармонических составляющих. Перечислим их в порядке возрастания числа косинусоидальных слагаемых:

Окно Ханна (функция hann), иногда неправильно называемое окном Хэннинга — одно косинусоидальное слагаемое.

Окно Хэмминга (функция hamming) — одно косинусоидальное слагаемое.

Окно Блэкмена (функция blackman) — два косинусоидальных слагаемых.

Окно Блэкмена—Харриса (функция blackmanharris) — три косинусоидальных слагаемых.

Окно Наттолла (альтернативная версия окна Блэкмена—Харриса, функция nuttallwin) — три косинусоидальных слагаемых. Остальные окна описываются более сложными математическими соотношениями. Форма гауссова окна (функция gausswin) не требует пояснений. Модифицированное окно Бартлетта—Ханна (функция barthannwin) представляет собой линейную комбинацию окон Бартлетта и Ханна. Окно Бомена (функция bohmanwin) является сверткой двух одинаковых косинусоидальных импульсов. Окно Чебышева (функция chebwin) обладает боковыми лепестками фиксированного (задаваемого при расчете) уровня и рассчитывается путем обратного преобразования Фурье частотной характеристики окна. Окно Кайзера (функция kaiser) также обладает параметром, регулирующим уровень боковых лепестков и ширину главного лепестка, при расчете данного окна используются модифицированные функции Бесселя. Окно Тьюки (функция tukeywin) является прямоугольником с косинусоидально сглаженными краями. При крайних допустимых значениях коэффициента сглаживания оно превращается в прямоугольное окно или окно Ханна. Функция fregz позволяет построить амплитудный спектр окна.

w=triang(16);

w=w/sum(w); % нормировка коэффициентов

plot(w)

figure

[h,f]=fregz(w,1,[],16);

plot(f,20*log10(abs(h)))

ylim([-80 0])

grid on

Получим сигнал и модуль его ДПФ без и при использовании окна Ханна (функция hann). Очевидно, что использование весовой функции позволяет существенно ослабить побочные спектральные составляющие - правда, за счет расширения спектральных пиков.

td = (0:31)’;

t = (0:0.01:32)’;

w=1.5; % частота косинусоиды

s = cos(w*t); % аналоговый сигнал

sd = cos(w*td); % дискретный сигнал

subplot(2,1,1), plot(t,s)

hold on, stem(td,sd,’filled’), hold off

xlim([t(1) t(end)])

subplot(2,1,2)

stem(td, abs(fft(sd)),’filled’)

xlim([t(1) t(end)])

sw = s.*hann(length(s));

sdw = sd.*hann(length(sd),’periodic’);

subplot(2,1,1), plot(t,sw,’—’)

hold on, stem(td,sdw,’filled’), hold off

xlim([t(1) t(end)])

subplot(2,1,2)

stem(td, abs(fft(sdw)),’filled’)

xlim([t(1) t(end)])

Рассмотрим пример исследования гармонического сигнала для окна Ханна

n=33; k=(0:32)'; b=sin(k); subplot(3,3,1) plot(b) w=hann(33); b1=b.*w; subplot(3,3,2) plot (b1,'r') subplot(3,3,3); plot(w) [h,f]=freqz(b,1,256,33); subplot(3,3,4); ylim([-60 30]) grid plot(f,20*log10(abs(h))) ylim([-60 30]) grid [h1,f1]=freqz(b1,1,256,33); subplot(3,3,5); plot(f1,20*log10(abs(h1)),'r') ylim([-60 30]) grid subplot(3,3,6); hold on plot(f1,20*log10(abs(h1)),'r') plot(f,20*log10(abs(h))) ylim([-60 30]) grid hold of

Результат программирования - исходный (синий), преобразованный (красный) сигналы; вид весовой функции (окна); спектры исходного(синий) и взвешенного(красный) сигналов.

ЗАДАНИЕ 3

1. Изучить весовые функции (окна) и их спектр. Рассмотреть различные варианты применения окон для ДПФ.

2. Получить сигнал и модуль его ДПФ без и при использовании окна согласно варианту задания.

ВЫПОЛНЕНИЕ

№ Вар.	Тип сигнала	Тип окна
1	sin(k)	Бомена
2	cos(k)	треугольное
3	square(k)	Барлетта
4	sawtooth(k,0.5)	Ханна
5	sinc(k/4)/4	Хэмминга
6	sin(k./2)
7	cos(k./2)	Кайзера
8	square(k./2)	Чебышева
9	pulstran(k,l,'tripuls',16).*2-1	Барлетта-Ханна
10	sinc(k/8)/8	Тьюки
11	rectpuls(2*pi*k/10);	Барлетта
12	exp(k./tau)	треугольное
13	tripuls(k–tau/2,tau)	Кайзера
14	sinc(k./2)	Ханна
15	square(k/4)	Блекмена

ЗАДАНИЕ №4

1.Эксперимент 1. Изучение БПФ, эффектов растекания, влияние весовых функций, представление спектра для реального и комплексного сигналов в Simulink.

Соберите схему, приведенную на рис.1, которая включает в себя блоки генератора синусоидального сигнала, буфера, весовой (оконной) функции, БПФ, вычисления абсолютного значения и фазы комплексного числа и векторного осциллографа.

Окна используемые для настройки блоков составляющих схему приведены на рисунках рис. 2 – рис. 7.

Рис. 1 – Схема модели для эксперимента 1

Рис. 2 – Окно задания параметров генератора синусоидального сигнала

Рис. 3 – Окно настройки параметров

Рис. 4 – Окно задания параметров буфера векторного осциллографа

Рис. 5 – Окно настройки параметров быстрого преобразования Фурье

Рис. 6 – Окно задания параметров весовой функции

Рис. 7 – Окно настройки параметров блока вычисления абсолютного значения

Задайте у генератора синусоидального сигнала амплитуду 1вольт, частоту 1КГц, частоту дискретизации 8КГц выходной сигнал как реальный. Установите величину буфера равной 16. Выберите весовую функцию прямоугольную. Получите Tj-0. 0спектрограмму для различного представления по оси частот (0 –fд, - fд/2 - fд/2, 0 - fд/2). Измените значение выходного сигнала генератора синусоиды на комплексный. Получите спектрограмму для различного представления по оси частот (0 –fд, - fд/2 - fд/2, 0 - fд/2). Объясните полученные результаты.

Для комплексного выходного сигнала генератора задайте отрицательную частоту 1КГц и для представления оси частот для векторного осциллографа (- fд/2- fд/2) получите спектрограмму объясните полученный результат.

Для комплексного выходного сигнала генератора задайте частоту 1КГц, буфер равным 16, представление оси частот для векторного осциллографа (- fд/2 - fд/2) и прямоугольной весовой функции получите спектрограммы для значения частот 1000, 1005, 1125, 1250, 1375, 1500 Гц. Сравните и объясните полученные результаты.

Повторите задание для весовых функций Хэмминга, Хана и Блэкмана. Сравните получаемые спектрограммы объясните получаемые результаты.

Эксперимент 2. Изучение разрешающей способности от времени анализа (объема выборки) и используемой весовой функции. Соберите схему, приведенную на рис.8, которая включает в себя два блока генератора синусоидального сигнала, сумматор, буфер, весовую (оконную) функцию, БПФ, вычисление абсолютного значения и фазы комплексного числа и векторный осциллограф.

Рис. 8 – Схема модели для эксперимента 2

Задайте частоты генераторов 1100Гц и 1200Гц, амплитуду 1 вольт, частоту дискретизации 8КГц, весовую функцию прямоугольную, представления оси частот для векторного осциллографа (- fд/2 - fд/2), время моделирования 10 секунд. Задавая величину буфера 64, 128, 512, 1024, 16384, 65536 получить спектрограммы, сравнить и объяснить получаемые результаты.

Повторите задание для весовых функций Хэмминга, Хана и Блэкмана. Сравните получаемые спектрограммы, объясните получаемые результаты.

Эксперимент 3. Изучение обратного преобразования Фурье. Соберите схему, приведенную на рис.9.

Схема дополнительно содержит блок обратного преобразования Фурье, блок преобразования комплексного сигнала в реальный и блок преобразующего данные из массива в последовательные отсчеты. Окна настройки дополнительных блоков приведены на рисунках рис.10 – рис.11.

Рис. 9 – Схема модели для эксперимента 3

Рис. 10 – Окно задания параметров для извлечения из буфера

Рис. 11 – Окно настройки параметров для блока обратного БПФ

Задайте частоты генераторов 1100Гц и 1200Гц, амплитуду 1 вольт, частоту дискретизации 8КГц, весовую функцию прямоугольную, представления оси частот для векторного осциллографа (- fд/2 - fд/2), время моделирования 10 секунд.

Провести моделирование по данной схеме для различных весовых функций (прямоугольной, Хэмминга, Хана и Блэкмана) получить временные диаграммы на выходе блока обратного преобразования Фурье. Сравнить и объяснить полученные результаты.

ЗАДАНИЕ№ 5