3.4. Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа для цепей однофазного переменного тока записываются в комплексной форме или для мгновенных значений. Математическая формулировка зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин, однако векторный и тригонометрический способы достаточно громоздкие.

I закон Кирхгофа – для мгновенных значений: алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю.

,

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

В комплексной форме: алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле цепи синусоидального тока, равна нулю.

.

II закон Кирхгофа – для мгновенных значений: алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура в каждый момент времени равна нулю.

где m – число участков контура.

Для контура, содержащего пассивные элементы (резистивные, индуктивные, емкостные) и источники ЭДС, формулировка II закона Кирхгофа следующая: в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС.

В комплексной форме II закон Кирхгофа:

3.5. Неразветвленные электрические цепи

Рассмотрим цепь с последовательным соединением R-, L- и С-элементов.

Пусть данная цепь (рис. 19) подключена к источнику тока Необходимо определить напряжение на ее входе.

По II закону Кирхгофа запишем:

где (из закона Ома): ; .

Отсюда:

,

где – комплексное cопротивление всей цепи. Тогда для данной цепи:

.

При последовательном соединении элементов R, L и С эквива- лентное комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлении всех последовательно включенных элементов:

.

Закон Ома для действующих значений и выражение полного сопротивления цепи будут иметь вид:

; .

Рассмотрим векторные диаграммы.

При построении векторных диаграмм необходимо взять за основу какой-то базисный вектор, от которого и строить все другие векторы, при этом необходимо помнить, что за положительное направление вращения векторов принято вращение против часовой стрелки. При последовательном соединении элементов за исходный (основной) принимается вектор тока, так как во всех элементах цепи протекает один и тот же ток. Рассмотрим случай, когда индуктивное сопротивление катушки больше емкостного сопротивления конденсатора ( x_L > x_C ).

Векторная диаграмма будет иметь вид (рис. 20, а). Из векторной диаграммы можно выделить треугольник напряжений (рис. 20, б). Если стороны треугольника напряжений (мысленно) разделить на один и тот же ток получим подобный треугольник сопротивлений (рис. 20, в).

3.6. Резонанс напряжений

Электрический резонанс – совпадение частоты собственных электрических колебаний в замкнутом контуре с частотой колебаний электрического тока, передаваемого внешним источником энергии.

Резонансом напряжений называется режим, при котором в цепи с последователъным соединением индуктивного и емкостного сопротивлений напряжение на входе совпадает по фазе с током. Условие резонанса напряжений следующее:

или

При резонансе напряжений векторная диаграмма представлена на рис. 21, а, а график изменения тока от изменения емкости конденсатора (или индуктивности катушки) может иметь вид (рис. 21, б):

К

ак следствие из условия резонанса напряжений, можно отметить следующее:

– ток в цепи в точке резонанса – максимальный;

– угол сдвига фаз  = 0, т. е. цепь ведет себя как цепь, имеющая только активное сопротивление;

– cos  = 1;

– нaпpяжeния на отдельных участках цепи переменного тока с последовательным соединением L- и С-элементов могут значительно превышать напряжение на входе (что невозможно в цепях постоянного тока), так как напряжения на L- и С-элементах находятся в противофазе () и их сумма меньше каждого в отдельности.

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений – явление нежелательное именно потому, что входные напряжения установок могут в несколько раз превышать их рабочие напряжения; однако в радиотехнике и автоматике резонанс напряжений часто применяется для настройки цепей на заданную частоту.