Desktop / Primer_vypolnenia_individualnykh_rabot_2__3

Домашняя работа №1. Основные операции с матрицами.

Задание. Даны две матрицы

Найти:

• Сумму матриц

• Произведение матриц

• Определитель матрицы (для группы 511 – A, 512 – B).

• Обратную матрицу (для группы 511 – A, 512 – B). Сделать проверку.

Решение.

• Матрицы можно складывать, если их размерности совпадают. Результатом суммы двух матриц будет матрица того же размера, что и исходные. Элементы новой матрицы получаются путем сложения соответствующих элементов исходных матриц.

• Матрицы можно перемножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк во второй матрице. Результатом произведения двух матриц является матрица, у которой количество строк совпадает с количеством строк в первой матрице, а количество столбцов совпадает с количеством столбцов во второй матрице. Элементы новой матрицы получаются по правилу строка на столбец: каждый элемент строки первой матрицы умножается соответственно на каждый элемент столбца второй матрицы:

  • Чтобы получить элемент, стоящий в первой строке, в первом столбце нужно перемножить элементы, стоящие в первой строке матрицы A и в первом столбце матрицы B.

  • Чтобы получить элемент, стоящий в первой строке, во втором столбце нужно перемножить элементы, стоящие в первой строке матрицы A и во втором столбце матрицы B и т.д.

• Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы, у которой количество строк совпадает с количеством столбцов. Определитель можно вычислить двумя способами:

• По правилу треугольника:

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка:

Определитель равен алгебраической сумме шести произведений, взятых с соответствующими знаками.

Второй способ (через миноры). Минор – это определитель матрицы, полученной из элементов путем вычеркивания определенной строки и определенного столбца исходной матрицы. Знак минора определяется по правилу:

Например, минор получается путем вычеркивания элементов первой строки и первого столбца:

• Найти обратную матрицу к матрице A.

- это транспонированная матрица, у которой строки меняются со столбцами.

Проверка:

Примечание:

На оценку «3» и на «зачет» достаточно сделать 2 любых задания.

На оценку «4» нужно выполнить 3 задания.

На оценку «5» нужно сделать 4 задания.

Домашняя работа №2. Решение систем линейных уравнений

Задание. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить ее следующими методами:

• Методом Крамера (методом определителей)

• Методом обратной матрицы

• Методом Гаусса.

Решение.

Метод Крамера.

1. Составить определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислить его:

(матрица для примера взята из первой работы)

2. Вместо первого столбца поставить столбец свободных членов (числа, стоящие после знака равенства) и вычислить вспомогательный определитель для вычисления первого неизвестного:

3. Вместо второго столбца исходной матрицы поставить столбец свободных членов (числа, стоящие после знака равенства) и вычислить вспомогательный определитель для вычисления второго неизвестного:

4. Аналогично вычислить :

Проверка:

Метод обратной матрицы.

1. Вычислить обратную матрицу для матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных.

2. Найти вектор, составленный из неизвестных:

Метод Гаусса

Составить матрицу из коэффициентов при неизвестных и приписать через черту столбец свободных членов:

Привести полученную матрицу к диагональному виду (т.е. чтобы под главной диагональю стояли нули). Можно переставлять строки, умножать строку на число, отличное от нуля, складывать или вычитать строки.

Выполняем обратный ход, переводя уравнения из матричного вида в обыкновенный и решая их, начиная с последнего.

Примечание:

На оценку «3» и на «зачет» достаточно решить систему одним любым способом и выполнить проверку.

На оценку «4» нужно решить двумя способами.

На оценку «5» нужно решить тремя способами.