Квантова механіка_Модуль 4

125

знаходить своє вираження в тому, що рівняння mxɺɺ- 2kx = 0 , яке відповідає нульово- му наближенню, за будь-яких початкових умов має розв’язок, що експоненціально росте з часом.

І проте метод дослідження малих коливань в околі точки х1 = λ існує, і він майже очевидний. Потрібно змінити початок координат, перемістивши його в положення стійкої рівноваги. Іншими словами, слід зробити заміну незалежної змінної х, ввів-

ши замість неї нову змінну η:
η= х + λ, або х=η – λ.	(5)

Підставляючи це х в U (х), розкриваючи дужки, групуючи члени, відкидаючи пос- тійний доданок і враховуючи, що λ задається формулою (3), прийдемо до наступного виразу для потенціальної енергії:

(6)

де kɶ = 2k , а через Uɶ позначені члени вищих ступенів по η.

Зрозуміло, потенціальні енергії (2) і (6) еквівалентні. Проте ця еквівалентність є неформальною і повною лише у тому випадку, коли ми вміємо розв’язувати задачу точно. Насправді її доводиться розв’язувати приблизно, по теорії збурень, і в такій ситуації до фізично розумних результатів приводить тільки вираз (6), ідентичний за своєю структурою виразу (1) з першого прикладу. Квадратичний по η член описує гармонічні коливання біля точки η0 = 0, тобто біля х1 = λ, а ангармонічний член Uɶ(η) дає малі поправки.

Уквантовій механіці прямим аналогом положення стійкої рівноваги служить осно- вний стан системи. Якщо знехтувати можливістю проникнення частинки з однієї «ям- ки» в іншу за рахунок тунельного ефекту, то потенціальній енергії (2) відповідати- муть два основні стани з однаковими енергіями, які відрізняються, наприклад, серед- німи значеннями координати х, рівними λ і –λ. Це означає, що основний стан у дано- му завданні є (квазі) виродженим, причому кратність виродження дорівнює 2.

Уквантовій теорії поля роль координати х відіграє польовий оператор, якого поз- начимо через φ(X). Основний стан називається вакуумом. Виявляється, що загальною рисою всіх квантовопольових теорій зі СПС є обов'язкове виродження вакууму. В цьому відношенні квантова теорія поля ближче до класичної механіки, ніж нереля- тивістська квантова механіка. Кожен окремий вакуумний стан характеризується се- реднім значенням поля, яке не дорівнює нулю (!). Таким чином, за наявності СПС вакуум набуває незвичайні властивості.

Членові kx2 в потенціальній енергії частинки відповідає член т2φ2 в густині енер- гії поля φ(X), де т — маса описуваних ним частинок. На перший погляд розглянутій вище механічній моделі з квадратичним доданком –kx2 в U(х) відповідає квантово- польова схема, що включає частинки з від’ємним квадратом масси. Але цей вивід невірний, тому що стан з нульовим полем φ=0 не є вакуумом. Дійсному вакууму ві- дповідає вираз для густини енергії поля, подібний до (6), в який входить масовий член 2т2φ2 . Таким чином, СПС заодно перетворює частинки з уявною масою im в

реальні частинки з масою M = 2m .

Приклад 3. Щоб виявити ще одну цікаву особливість теорій зі СПС, розглянемо плоский рух частинки в зовнішньому полі з потенціальною енергією

(7)

126

Наочно її можна представити, обертаючи малюнок 2 навколо вертикальної осі, — графік функції U(х,у) буде схожий на денце пляшки. Задача симетрична відносно неперервних перетворень

x'=x cosα + y sinα, y'= –x sinα+y cosα,

(8)

які є поворотами в площині (х, у) навколо початку координат на кути α і які збері- гають модуль радіус-вектора r. Частинка має одне положення нестійкої рівноваги r0=0 у вершині «денця» і нескінчено багато еквівалентних положень стійкої рівноваги:

(9)

Ці точки заповнюють все коло r=λ, тобто «обідок денця». Подальший розгляд повніс- тю аналогічний розгляду, проведеному в прикладі 2. Виберемо для визначеності одну точку стійкої рівноваги, наприклад х1 =λ, у1 =0, і зробимо заміну незалежних змінних:

η=х+λ, χ=y, або х=η–λ, y=χ.	(10)
Викладки, аналогічні тим, що привели до (6), дають:
.	(11)

Потенціальні енергії (7) і (11) формально еквівалентні, але остання по вигляду не інваріантна відносно перетворень (8). За рахунок того, що ми зафіксували певне по- ложення стійкої рівноваги, початкова симетрія спонтанно порушилася.

Звернемо увагу на наявність в (11) члена, квадратичного по η, і на відсутність члена, квадратичного по χ. Сенс цього результату очевидний. Малі відхилення частин- ки від положення стійкої рівноваги η0 = 0, χ0 = 0 (х1 =λ, у1 =0) є гармонійними коли- ваннями вздовж осі х і вільним рухом вздовж осі у, які дещо спотворені ангармоні- чними членами Uɶ (реальний рух відбувається не по відрізку осі у, а по дузі кола).

Що стосується квантовопольових теорій, аналогічних розглянутій класичній за- дачі, справедливі всі ті висновки, які були зроблені в прикладі 2. Зокрема, виникає виродження вакууму, причому кратність виродження тепер дорівнює нескінченно- сті. Останнє твердження є прямим наслідком неперервності початкових перетворень симетрії, яка в класичній механіці приводить до існування континууму точок стій- кої рівноваги.

Неперервність перетворень має і інший аспект, для виявлення якого ми обгово- рюємо даний приклад. Пригадавши відповідність між коефіцієнтом пружності в кла- сичній механіці і масою частинки в квантовій теорії поля, побачимо, що замість двох початкових псевдочастинок з однаковими уявними масами im виникають одна реаль- на частинка з масою M1 = 2m і одна реальна частинка з нульовою масою М2=0. Ви- являється, що це твердження має абсолютно загальний характер і складає зміст так званої теореми Голдстоуна (Дж. Голдстоун, 1961 г.; Дж. Голдстоун, А. Салам і С. Вейнберг, 1962 р.). Вона свідчить про наступне: у квантовій теорії поля із спонтан- ним порушенням неперервної симетрії обов'язково виникають бозони з нульовою ма- сою (М = 0), причому їх кількість дорівнює числу незалежних параметрів, що зада- ють початкові перетворення симетрії.

Тепер можна підвести деякі підсумки:

а) СПС означає існування стійких розв’язків, що не володіють симетрією почат- кових рівнянь;

б) у квантовій теорії поля зі СПС симетричний основний стан, в якому середнє значення поля дорівнює нулю, є нестійким;

в) у квантовій теорії поля зі СПС стабільний вакуум є виродженим;

127

г) різні вакуумні стани ортогональні один одному і характеризуються різними се- редніми значеннями поля, відмінними від нуля;

д) у квантовій теорії поля зі спонтанним порушенням неперервної симетрії вини- кають безмасові частинки, названі голдстоунівськими бозонами.

Перші чотири твердження можуть служити еквівалентними визначеннями поняття СПС у квантовій теорії поля. Останній результат за формою ідентичний результату, сформульованому для калібровочних бозонів у теоріях з ЛКІ. Через нього теорії зі СПС, як і теорії з ЛКІ, довгий час не отримували визнання і не привертали належної уваги, хоча в багатьох інших відносинах вони привабливі..

Але у 1964 р. П. Хіггс відкрив дивовижне явище, яке тепер називається механіз- мом Хіггса. На жаль, пояснити його на простих класичних прикладах неможливо, і ми обмежимося констатацією суті справи. Виявляється, що в теоріях зі спонтанним порушенням локальної калібровочної симетрії голдстоунівські бозони частково об'єд- нуються з калібровочними бозонами і наділяють їх масами, а частково вони відщеп- люються і зникають. При цьому в традиційних схемах обов'язковим є виникнення ма- сивної скалярної частинки з нульовим спіном, що іменується хіггсівським бозоном. Таким чином, в обох схемах вдається повністю позбавитися від неугодних безмасо- вих частинок. Відкриття механізму Хіггса проклало шлях до широкого застосування як концепції ЛКІ, так і концепції СПС. І саме на них базується єдина теорія слабкої і електромагнітної взаємодій.

§92. Модель Вейнберга – Салама

Найбільш успішна спроба об'єднаного опису СлВ і ЕМВ належить С. Вейнбергу і А. Саламу (1967 р.). Структура їх теорії складна, і ми обмежимося лише зауваження- ми загального характеру.

У своєму простому варіанті модель Салама – Вейнберга виходить з дублету леп- тонів (νе, е–), затравочні маси яких дорівнюють нулю, і з дублету скалярних частинок (φ+, φ0), що володіють від’ємними квадратами затравочних мас. Схема вважається ін- варіантною відносно «поворотів» у 2-вимірному комплексному просторі і відносно глобальних калібровочних перетворень. Це приводить до збереження слабких ізос- піна і гіперзаряду. Перетворення інваріантності локалізуються, внаслідок чого ви- никають чотири безмасових векторних калібровочних поля: янг-міллсівський триплет А = (А1, А2, А3) і синглет В. Нарешті, способом, аналогічним описаному в прикладі 3 попереднього параграфу, вводиться СПС. Роль координат х, у виконує дублет φ, який формує масивну нейтральну скалярну частинку – хіггсівський бозон Н0. Друга час- тина дублету аналогічна координаті χ , яка ніби приєднується до калібровочних бозо- нів і врешті решт виключається з теорії.

Початкові калібрувальні поля А і В в результаті СПС змішуються один з одним в наступні комбінації:

(1)

і

(2)

Тут ΘW – так званий кут Вейнберга, пов'язаний з параметрами моделі. Частинки W+, W– і Z0 за рахунок механізму Хіггса набувають маси і ототожнюються з проміжними бозонами, частинка γ залишається безмасовою і ототожнюється з фотоном.

128

Модель Вейнберга – Салама містить 5 параметрів: константу «самодії» а поля φ(X), його середнє вакуумне значення λ (або уявну затравочну масу), константу взаємодії fe безмассових лептонів з полем φ(X), «заряд» g, пов'язаний з калібровочним триплетом А, і «заряд» g', пов'язаний з калібровочним синглетом В. Через ці параметри можна виразити відомі з досліду елементарний заряд е, сталу Фермі GF і масу електрона т. В результаті залишається два вільні параметри, в якості яких зазвичай вибира- ють константу а і кут Вейнберга ΘW. Останній особливо важливий, оскільки тільки він і входить в основні співвідношення теорії (параметр а визначає масу хіггсівсько- го бозона). Значення кута Вейнберга ΘW можна знайти з даних експериментів з нейтрино, які дають:

sin2 ΘW ≈0,23, або ΘW ≈30°.

(3)

Маси проміжних бозонів виражаються в моделі Вейнберга –Салама через λ, g, g', а отже, через е, GF і ΘW:

	(4)
де α – стала тонкої структури, і	(5)
Підстановка чисельних значень а, GF і ΘW дає:
,	(6)

що відмінно узгоджується з експериментальними значеннями (§74).

Одне з найбільших досягнень моделі Вейнберга–Салама – єдиний опис слабкої і електромагнітної взаємодій. Дійсно, як видно з формул (1)-(2), їх носії – проміжні бо- зони і фотон – мають загальне походження і тісно зв'язані один з одним. Крім того, константи g і g', які визначають інтенсивність взаємодії лептонів з фотонами і про- міжними бозонами, виражаються через електричний заряд е і кут Вейнберга ΘW. І врешті решт виявляється, що інтенсивність електромагнітної і слабкої взаємодій ха- рактеризується однією і тією ж фундаментальною сталою е. При цьому «слабкий за- ряд», що позначався у § 74 як f, по порядку величини дорівнює е. Таким чином, при- чиною малої інтенсивності слабкої взаємодії є не малість відповідного заряду, а те, що маси проміжних бозонів дуже великі. Ця взаємодія дійсно слабка при відносно малих енергіях, але в області Е >mWс2 її інтенсивність зрівнюється з інтенсивністю електромагнітної взаємодії.

Незважаючи на свої привабливі риси, модель Вейнберга-Салама завоювала ви- знання не відразу. Але об'єднання концепцій ЛКІ і СПС виявилося таким плідним, що воно не тільки наділило калібровочні бозони масами, але і забезпечило перенор- мованість схеми в цілому. Фактичний її доказ виявився дуже складним, і він в значній мірі був підготовлений роботами радянських фізиків-теоретиків: у 1967 р. Л.Д.Фаддє- єв і В.М.Попов розв’язали складну проблему квантування калібровочних полів, а в 1971 р. А. А. Славнов встановив перенормованість звичайних (без СПС) каліброво- чних теорій. Доказ перенормованості моделі Вейнберга-Салама вперше побудував

у1971-1972 рр. Р. т Хоофт. Тільки після цього вона привернула загальну увагу. Вище стисло описано максимально простий варіант моделі Вейнберга-Салама. Во-

на стає реалістичною теорією електрослабкої взаємодії лише після включення інших лептонів і необхідних кварків, причому технічно це робиться порівняно просто. Схема в цілому виявляється перенормованою тільки у тому випадку, коли загальне число ароматів кварків дорівнює загальному числу лептонів, тобто коли має місце

129

кварк-лептонна симетрія. Саме ця обставина разом з необхідністю придушення де- яких небажаних процесів послужила свого часу найбільш вагомим аргументом на ко- ристь введення чарівності і четвертого кварка.

Після першої публікації С. Вейнберга з'явилися тисячі робіт, присвячених аналізу і розвитку первинної схеми електрослабкої взаємодії, і було запропоновано декілька десятків її модифікацій і узагальнень. Але виявилось, що теорія, заснована на першій моделі Вейнберга-Салама, набагато ближче до природи, ніж її численні «удоскона- лення». Про її концептуальні досягнення (об'єднання СлВ і ЕМВ і перенормованість) вже йшла мова. Але, окрім цього, теорія передбачила цілий ряд нетривіальних ефек- тів, що допускають експериментальну перевірку. Досить пригадати історію з чарів- ністю і прогноз нейтральних струмів (без Z0 побудова схеми неможлива) зі всіма де- талями обумовлених ними слабких процесів, підтверджених на досліді. Єдине, що ту- рбує фізиків-теоретиків, так це те, що вони поки абсолютно не розуміють спектр мас лептонів і кварків, а значить, і адронів.

Існування єдиної електрослабкої взаємодії навряд чи викликає сумніви. Офіційне визнання цього - присудження С. Вейнбергу, А. Саламу і С Глешоу Нобелівської премії з фізики за 1979 р. Успіхи теорії електрослабкої взаємодії різко укріпили по- зиції фундаментальних, але відносно молодих концепцій ЛКІ і СПС. І вони досить успішно застосовуються практично у всіх сучасних квантово польових теоріях.

§93. Обмеженість фізичних теорій

В трьох частинах даного курсу теоретичної фізики ми розглянули основні фі- зичні теорії, які описують простір, час і рух в них матерії в певній області фізичних умов. Але жодна з них не є теорією, що охоплює всі фізичні явища природи, всі рі- зновиди руху матерії, і тому можна говорити про їх обмеженість і неповноту. По- вторимо особливості цих теорій, зауваживши межі їх справедливості.

1. Історично першою з основних фізичних теорій була класична механіка Ньютона (КМН). Коло явищ, при яких виконуються закони КМН, дуже велике. Загальні рівняння класичної механіки Ньютона не містять ніяких універсальних констант, якщо не розглядати гравітаційну взаємодію тіл.

2. Гравітаційна теорія Ньютона (ГТН) включає в себе всі закони і уявлення класичної механіки Ньютона і, крім того, закон всесвітнього тяжіння Ньютона та пов’язані з ним уявлення про миттєву далекодію (тобто миттєве поширення граві- таційної взаємодії на будь-які відстані), універсальність цієї взаємодії та незалеж- ність гравітаційного прискорення пробної частинки від її маси та інших характери- стик і властивостей. Отже, ГТН можна розглядати як узагальнення КМН на область гравітаційних явищ. Рівняння гравітаційної теорії Ньютона містять фундаменталь- ну сталу – гравітаційну сталу Ньютона G . В рамках цих же уявлень були розробле- ні статистична фізика, термодинаміка і електродинаміка.

На початку ХХ ст. стало зрозуміло, що існуючі фізичні теорії наближені, не охоплюють всю багатогранність фізичних умов і явищ у світі. Для кола негравіта- ційних явищ було виявлено, що при поширенні світла і при русі частинки з швид- костями, немалими порівняно зі швидкістю світла с, основні рівняння КМН є нето- чними і необхідна більш точна теорія простору і часу, яка була названа спеціаль- ною теорією відносності (СТВ).

3. СТВ можна розглядати як узагальнення основних уявлень класичної механі- ки Ньютона на область великих швидкостей. Формули СТВ також містять світову

130

сталу - так звану фундаментальну швидкість c , або, краще, обернену їй величину

1 . Швидкість c є граничною швидкістю поширення взаємодії і є однаковою в усіх

c

ІСВ. Вона співпадає із швидкістю світла у вакуумі. Рівнянням СТВ можна придати

таку форму, що, перейшовши в них до границі 1 → 0 , ми отримаємо рівняння

c

КМН. Цей перехід означає перехід до розгляду таких явищ, в яких швидкість руху частинок υ << c . В рамки СТВ увійшли уточнені електродинаміка, термодинаміка. Але СТВ не охоплює гравітаційні явища, а ГТН недостатня у вивченні швидких рухів, отже, і сильних гравітаційних полів, які можуть приводити до великих швид- костей руху тіл. Крім того, і СТВ, і ГТН логічно суперечать одна одній, оскільки СТВ не допускає поширення взаємодії з нескінченою швидкістю. Теорією, яка усу- нула ці протиріччя і об’єднала швидкі рухи з гравітаційними явищами, стала зага- льна теорія відносності (ЗТВ).

4. Загальна теорія відносності (ЗТВ). ЗТВ можна розглядати як узагальнення СТВ на область гравітаційних явищ, і разом з тим як узагальнення ГТН на область високих швидкостей і сильних полів тяжіння. Рівняння ЗТВ містять дві універсаль-

ні сталі:	1	та гравітаційну сталу G (або сталу Ейнштейна κ =				8π G	). При належній в
	c					c4
кожному окремому випадку формі рівнянь ЗТВ граничні переходи при G → 0 (сла-
бкі гравітаційні поля) та			1	→ 0	(повільні рухи) приводять відповідно до СТВ та до
			c

ГТН.

Всі перераховані вище чотири основні теорії (КМН, ГТН, СТВ, ЗТВ) назива- ються класичними, з них ЗТВ є найбільш загальною і містить решту три як гранич- ні випадки.

5. Для мікросвіту навіть при не дуже швидких рухах і відсутності гравітацій- ного поля стало необхідним нове, відмінне від класичної, узагальнення механіки Ньютона. Таким узагальненням виявилась нерелятивістська квантова механіка (НКМ); її формули і рівняння містять фундаментальну сталу – сталу Планка (або h - квант дії). Їм можна придати таку форму, що граничний перехід → 0 приведе до КМН. Цей перехід в рівняннях і формулах НКМ означає перехід до розгляду та- ких частинок і систем, коли характерні для них величини, які мають розмірність дії, набагато більші за . НКМ внесла суттєві зміни в описі станів і рухів мікрооб’єктів в статистичну фізику і термодинаміку. Але вона непридатна до швидких рухів мік- рочастинок, при яких їх кінетична енергія близька до енергії спокою, і до випромі- нювання, кванти якого мають енергію, немалу порівняно з енергією спокою елект- рона. Для дослідження таких процесів, які при високих енергіях супроводжуються взаємоперетвореннями частинок, зокрема, процесів народження та анігіляції части- нок і античастинок, необхідно залучити релятивістську квантову теорію.

6. В релятивістській квантовій теорії втрачає зміст протиставлення частинок і поля: частинкам кожного типу відповідає своє, еквівалентне їм поле, і навпаки. При цьому поля, які відповідають частинкам з півцілим спіном, не мають класичних аналогів. Цю теорію можна розглядати як узагальнення НКМ на область швидких рухів і разом з тим як узагальнення механіки і електродинаміки СТВ на область квантових явищ. Її ще називають квантовою теорією поля (КТП). Для КТП суттє-

131

ві і релятивістська стала 1 , і квантова стала . Разом з СТВ і ЗТВ вона складає гру-

c

пу основних релятивістських теорій. КТП є однією з найбільш загальних негравіта- ційних теорій. Але вона ще не завершена, тому що наштовхується на труднощі в описі так званих сильних взаємодій, до яких відносяться взаємодії між важкими елементарними частинками.

7. Загальна фізична теорія (ЗФТ). Логічно, очевидно, можлива єдина загаль- на теорія елементарних частинок і силових полів - ЗФТ, яка була б узагальненням КТП на область гравітаційних явищ, або, що теж саме, узагальнення ЗТВ на об- ласть квантових явищ. Умови, коли ефективною буде ЗФТ, можуть реалізуватись при гравітаційному колапсі. Ймовірно, що побудова ЗФТ також буде пов’язана з введенням нових понять, ідей і уявлень. Поки що зроблені лише окремі пробні ва- ріанти релятивістської квантової гравітаційної теорії, яка мала б стати суттєвою ча- стиною ЗФТ. Основні рівняння ЗФТ повинні містити три фундаментальні сталі: G ,

1 , , а всі відомі на цей час теорії могли б бути отримані як відповідні граничні

c

випадки G → 0 , 1 → 0 , → 0 . Не виключено, проте, що в такій теорії взагалі не бу-

c

де найбільш загальних диференційних рівнянь, але будуть сформульовані принци- пи, які дозволяють складати рівняння для будь-яких окремих випадків.

8. Ми розглянули 7 основних фізичних теорій. Цей перелік не включає теорію, основні рівняння якої повинні містити дві світові сталі: G і . Це була б нереляти-

вістська квантова гравітаційна теорія (КГТ). Це можливе узагальнення КТП на область гравітаційних явищ або узагальнення ЗТВ на область квантових явищ. Оскільки гравітаційні кванти – гравітони – повинні рухатись як фотони з фундаме- нтальною швидкістю с, то квантова теорія гравітації повинна бути релятивістсь- кою. Але можна уявити собі можливість таких квантово-гравітаційних явищ, для опису яких скінченність швидкості поширення взаємодії не має значення; в цьому випадку можлива нерелятивістська КГТ як самостійна теорія.

ЗФТ	КТП
G, 1/c,	1/c,
ЗТВ G,	СТВ
1/c	1/c

КГТ

G, НКМ

ГТН КМН

G

Співвідношення між розглянутими вище основними фізичними теоріями мож- на проілюструвати за допомогою запропонованої Зельмановим схеми – кубом Зе- льманова. Стрілки на цій схемі напрямлені від менш загальних до більш загальних

132

теорій. Разом з тим будь-яка з основних фізичних теорій повинна бути точною в розумінні: її основні рівняння повинні бути точними в тій же мірі, в якій точні всі її основні поняття, взяті в їх сукупності, так що в області застосування останніх по- дальше уточнення основних рівнянь позбавляє змісту.

Сукупність перерахованих вище основних фізичних теорій разом з другими, що входять в коло основних уявлень, неявно охоплює всю багатогранність фізич- них умов і явищ, які на даний час відомі, або які можна передбачити. Зрозуміло, можливо, що найближчі узагальнення підуть не по приведеному тут шляху або за- вершення КТП і побудова ЗФТ відкриють необхідність нових узагальнень.