Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

<Σа>(t) = 2Σf <σa>Фt или <Σа>(t)/ Σf = 2<σa>Фt . (2.22)

Данный приближенный подход можно использовать для оценки макроскопических сечений осколков деления, пожалуй, только для реакторов на быстрых нейтронах. Соображения по этому поводу были высказаны в п. 2.1.1. Среднее микроскопическое сечение осколков деления в этом случае вряд ли превышает 0,5 барна и остается практически постоянным в течение работы реактора между перегрузками.

В случае реакторов на тепловых нейтронах среднее сечение существенно зависит и от времени работы реактора и от плотности потока нейтронов. В первые сутки работы реактора происходит рост среднего сечения от нескольких сот барн до нескольких тысяч барн из-за осколков деления с большими сечениями и малыми периодами полураспада, для которых независимый выход гораздо меньше кумулятивного (кумулятивный выход определяет равновесное количество данного нуклида). Примерно через сутки начинается уменьшение среднего сечения, поскольку число осколков деления с большими сечениями поглощения и малыми периодами полураспада достигают равновесного количества (см. (2.19) и (2.20)), а число осколков деления с малыми сечениями и большими периодами полураспада продолжает увеличиваться (см. (2.17)). К концу кампании среднее сечение поглощения нейтронов осколками деления в зависимости от конкретных характеристик ректора снижается до десятка (десятков) барн.

2.2.Нестационарные процессы отравления реактора

2.2.1.Отравление реактора ксеноном

Среди осколков деления и вновь образующихся при ядерных реакциях нуклидов имеются ядра, для которых макроскопические сечения взаимодействия с нейтронами оказываются заметными. Поскольку эти нуклиды нестабильны и образуются, кроме того, в цепочках последовательных радиоактивных превращений, то они создают сложные во времени переходные процессы.

В цепочке последовательных β−-распадов нуклидов с массой 135 есть 135Хе, сечение поглощения нейтронов которого составляет для

91

тепловой энергии 2,8·106 барн. Этот нуклид образуется как непосредственно при делении ядра (его независимый выход составляет около 0,3 %), так и в результате β−-распада ядер 135I, кумулятивный выход которого при делении составляет 6,0 %. В данном случае можно рассматривать кумулятивный выход ядер 135I, поскольку его основной предшественник имеет очень малый период полураспада.

Основные характеристики упомянутой цепочки последовательных β−-превращений:

135	β−	135	β−	135	β−	135
	Te →		I →		Xe →
	1 мин		6,7 ч		9,1 ч

β−	135	Ba (стабилен) (2.23)
Сs →

2,6 106 лет

Рассмотрим поведение во времени количества ядер ксенона в точечном приближении. Если реактор работает на стационарном уровне мощности, то в нем из-за коротких периодов полураспада последовательных β-превращений устанавливается равновесная концентрация ядер 135Хе, которая зависит от уровня мощности реактора. При быстром изменении мощности реактора равновесная концентрация не может быстро установиться, так как необходимо время для распада или накопления нуклидов 135I, 135Хе.

Зависимость концентраций ядер 135Хе и 135I от времени можно

определить из баланса образования и исчезновения ядер:

dn / dt = −λ

n −σXeΦn + λ n + ξ

Xe

Σ

f

Φ,

Xe

Xe Xe

a

Xe

I I

(2.24)

dn / dt = −λ n + ξ

Σ

Φ −σI Φn ,

f

I

I I

Ι

a

I

где λXe, λI – постоянные β−-распада ядер 135Хе, 135I, равные соответственно 2,11·10-5 и 2,87·10-5; σXea , σIa – средние сечения поглощения

нейтронов ядрами 135Хе, 135I; Σf – макроскопическое сечение деления топлива; nXe, nI – концентрации ядер 135Хе, и 135I; ξXe, – незави-

симый выход на одно деление осколков 135Хе; ξI – кумулятивный выход на одно деление осколков 135I.

В уравнениях (2.24) учтены исчезновения ядер 135Хе в результате радиоактивного распада (–λXenXe) и поглощения нейтронов ( σXea ФnXe ), а также образование ядер 135Хе вследствие деления ядер

(ξXeΣfФ) и из ядер 135I в результате β−-распада (λInI).

В равновесном (иногда говорят в стационарном) состоянии, т.е. когда dnXe/dt = 0 и dnI/dt = 0, при заданном потоке Ф0 концентрации ядер 135Хе и 135I равны соответственно

92

nXe = Φ0Σf	ξCe + ξΙ	; nI =	Φ0Σf	ξΙ .	(2.25)
	λXe + σaXeΦ0		λI

При получении равновесных концентраций пренебрегли потерями 135I в результате поглощения нейтронов. Такое приближение справедливо для потоков нейтронов Ф < 5 1016 (см2с)–1. Заметим, что обычно потоки нейтронов в энергетических реакторах на тепловых нейтронах, по крайней мере, на порядок меньше.

Если в реакторе, работавшем в течение нескольких суток на постоянном уровне мощности с плотностью потока нейтронов Ф0, в момент времени t = 0 скачком изменилась мощность до нового уровня (плотность потока нейтронов стала Ф1), то концентрация ядер 135Xe будет сложным образом изменяться в течение нескольких десятков часов, пока не достигнет нового равновесного состояния. Решая систему уравнений (2.24) для заданного Ф*) с начальными равновесными концентрациями nXe и nI (2.25), соответствующими плотности потока нейтронов Ф0, получаем зависимость

n

(t) = Φ

0

(ξ

Xe

+ ξ

)Σ

f

exp(−λ1

t) / λ0

+ Φ (ξ

Xe

+ ξ

)Σ

f

×

Xe

I

эфф

эфф

1

I

×

1

1

+ ξIΣf (Φ0 −Φ1 ) ×

(2.26)

1−exp(−λэффt) / λэфф

× exp(−λIt)

−exp(−λэффt) / (λэфф −λI ),

1

1

где λ0

= λ

Xe

+ Φ

σXe

; λ1

= λ

Xe

+ Φ σXe .

'эфф

0

a

'эфф

1 a

Детальное рассмотрение уравнения (2.26) показывает следующие особенности поведения количества ядер 135Хе во времени. Если мощность реактора (плотность потока нейтронов) увеличилась, то количество ядер 135Хе будет вначале уменьшаться и приблизительно через 10 ч достигнет минимума. Затем в течение десятков часов будет происходить рост количества ядер 135Хе, пока не будет достигнуто новое равновесное состояние в соответствии с (2.25). После увеличения мощности в новом равновесном состоянии будет большее количество ядер 135Хе. При снижении мощности реактора происходит вначале рост количества ядер 135Хе, а затем падение и в новом равновесном состоянии количество ядер 135Хе будет

Надо иметь в виду, что решение в виде (2.26) может быть реализовано, когда с помощью ситемы СУЗ поддерживают плотность потока нейтронов постоянной. Без этого в результате изменения количества ядер ксенона во времени будет изменяться реактивность и плотность потока нейтронов.

93

меньше. Реактивность реактора зависит от скорости поглощения нейтронов ядрами ксенона, поэтому, если мощность реактора изменили за счет введения положительной (или отрицательной) реактивности, то через сравнительно короткое время, определяемое величиной реактивности и временем жизни запаздывающих нейтронов, происходит стабилизация уровня мощности либо за счет обратных связей (реактивность зависит от мощности), либо за счет изменения положений органов регулирования (реактивность вновь становится нулевой). Но изменение мощности влияет на количество ядер ксенона, поэтому в течение 10–15 ч после изменения мощности наблюдается положительная обратная связь: если произвели увеличение мощности, то появляется положительная реактивность, способствующая дальнейшему росту мощности; если мощность была уменьшена, то появляется отрицательная реактивность, способствующая дальнейшему уменьшению мощности. В дальнейшем реактивность, обусловленная изменением количества ядер ксенона, будет возрастать, если мощность была снижена, и уменьшаться, если мощность была увеличена.

Другими словами, после введения положительной реактивности в реактор она в первые десять часов увеличивается, а затем спадает. При введении отрицательной реактивности происходит ее снижение, а затем достигается новое равновесное состояние с большей реактивностью.

Если известно поведение количества ядер ксенона в реакторе во времени, то можно найти и соответствующее временное поведение реактивности. Эту зависимость можно получить на качественном уровне, т.е. найти изменение реактивности, обусловленное накоплением ядер ксенона, используя простейшие модели вычисления эффективного коэффициента размножения.

Используем формулу четырех сомножителей, предполагая, что изменение реактивности при накоплении ядер 135Хе проявляется только в сомножителе θ – коэффициенте использования тепловых нейтронов.

В этом приближении kэфф можно записать в виде

kэфф(t) = μθηϕ /(1+B2M2) = C1νΣf/[ ΣаU + C2 + σXeNXe(t)], (2.27)

где C1= μϕ/(1+B2M2), а С2 – не зависящая от времени постоянная, учитывающая остальные потери нейтронов (поглощение в тепло-

94

носителе, в конструкционных материалах и пр.), которая определяется из условия kэфф(0)=1 и при заданном NXe(0):

С	2	= С νΣ		−ΣU −σXe N	Xe	(0) .	(2.28)
		1	f	a a

Приближенность приведенного соотношения (2.27) в том, что не принимается во внимание изменение утечки нейтронов и изменение спектра нейтронов. Именно это позволяет считать значения С1 и С2 постоянными.

Принимая во внимание, что ρ(t) = 1 – 1/kэфф(t), получаем

1

Xe

Xe

ρ(t) =1−1/ kэфф (t) =

nXe (0)σa

− nXe (t)σa .

(2.29)

νC Σ

1

f

Отсюда, используя nXe(0) из (2.25), окончательно получаем

ρ(t) = 1

−

nXe (t)

(ξ

+ ξ

)σXeΦ

/ νC (λ

+ σXeΦ

) .

(2.30)

Xe

0

Xe

0

nXe (0)

I

a

1

a

Относительное изменение концентрации ядер ксенона с учетом

(2.25) и (2.26) равно

n

(t)

Φ

λ0эфф

Φ

λ0эфф

Xe

=

1

+ 1−

1

exp(−λ1 t )+

(0)

Φ

λ1

Φ

λ1

n

0

0

эфф

Xe

эфф

эфф

(2.31)

Φ

ξ

λ0эфф

I

exp(−λ

t ) −exp(−λ1

t) .

+ 1

−

1

Φ0

(ξXe +ξI ) λ1эфф −λI

I

эфф

Отметим

некоторые существенные

особенности

зависимости

ρ(t) при различных соотношениях между Ф0 и Ф1. Если реактор выводится с нулевого уровня мощности (Ф0 = 0) на заданный с потоком нейтронов Ф1, то потерю реактивности вследствие образования равновесного количества ядер 135Xe(ρXe) можно определить из

(2.26) и (2.29), полагая Ф0 = 0, nXe(0) = 0 при t > 5/λI (или при малых плотностях потоков нейтронов при t > 5/λXe), из соотношения

ρ

= −

1

(ξ

+ξ

)σXeΦ

/ (λ

+σXeΦ ) .

(2.32)

Xe

Xe

1

Xe

νC1

I

a

a 1

Интересно отметить, что при больших плотностях потоков нейтронов, таких, что σXea Ф >> λXe , ρXe (t > 100 ч) не зависит от уровня мощности и достигает своего максимального значения 2,6 %/С1 при ν = 2,42 и (ξXe + ξI) = 6,3 %. Значение постоянной С1 зависит от типа реактора, обогащения топлива, степени гетерогенности активной

95

зоны. Для больших реакторов на тепловых нейтронах, для которых утечка нейтронов составляет несколько процентов и μ ≈ 1,03, значение С1 ≈ ϕ (вероятность избежать резонансного захвата ядрами 238U).

Полученная оценка потери реактивности является приближенной, поскольку не принято во внимание пространственное распределение нейтронов в реакторе.

На рис. 2.1 приведены рассчитанные по формулам (2.30) и (2.31) типичные зависимости ρ(t) после быстрого вывода реактора на мощность (Ф0 = 0, Ф1 > 0) и его работы на мощности до достижения равновесной концентрации ядер ксенона при различных плотностях потоков нейтронов Ф1. Далее, после установления равновесной концентрации ядер ксенона (при t = 0 на рис. 2.1) мощность сбрасывается до нулевого значения (после t > 0 расчет проводится для Ф0 > 0 и Ф1 = 0).

Рис. 2.1. Зависимость потери радиоактивности из-за накопления ядер ксенона 135Xe от времени:

1 – Ф0 = 3,87 1012 нейтр./(см2 с); 2 – Ф0 = 7,75 1012 нейтр./(см2 с); 3 – Ф0 = 2,32 1013 нейтр./(см2 с); 4 – Ф0 = 7,75 1013 нейтр./(см2 с); 5 – Ф0 = 2,32 1014 нейтр./(см2 с)

На приведенных графиках даны изменения реактивности, обусловленные только концентрацией ядер ксенона. После вывода реактора на мощность его реактивность уменьшается, и потеря реак-

96

тивности достигает своего равновесного значения после 40–50 ч в соответствии с (2.32). После сброса мощности реактивность реактора начинает уменьшаться и приблизительно через 10 ч достигает минимума, а затем наблюдается рост реактивности. Такое поведение реактивности называют йодной ямой. Качественно это связано с тем, что после сброса мощности образование ядер ксенона происходит в результате β−-распада 135I.

Если после сброса мощности (Ф1 = 0) приращение ядер 135Xe

вследствие β−-распада ядер 135I будет больше, чем исчезновение ядер 135Xe из-за радиоактивного распада, т.е. λInI > λXenXe, то количество ядер 135Xe возрастет и реактивность реактора упадет.

Такая ситуация возможна, если nI/nXe>λXe/λI = 0,73. Используя (2.25) и при условии nI/nXe>0,73, получаем, что йодная яма образу-

ется, если Φ0 > λξXe / ξIσXea . Для рассматриваемого случая Ф0 >

> 4 1011 нейтр./(см2 с). Заметим, что при ξXe = 0 йодная яма наблюдается при любых Ф0. Глубина йодной ямы тем больше, чем выше плотность потока нейтронов до сброса мощности, и по абсолютному значению может быть больше, чем потеря реактивности в результате равновесного отравления реактора ксеноном. Например,

при Ф0 ≈ 3 1013 нейтр./(см2 с) глубина йодной ямы приблизительно равна ρХе, а при Ф ≈1014 нейтр./(см2 с) почти в 5 раз больше.

Глубина йодной ямы практически линейно растет с плотностью потока нейтронов (если не принимать во внимание выгорание ядер йода). На рис. 2.2 показана зависимость глубины йодной ямы от плотности потока нейтронов в реакторе. На этом же рисунке приведена зависимость равновесного отравления ксеноном в функции плотности потока нейтронов (см. (2.25)).

Максимальная глубина йодной ямы достигается при времени t* (время отсчитывается от момента сброса мощности), которое может быть определено путем нахождения экстремума соотношения

(2.30) при Ф0 > 0 и Ф1 = 0, λ1эфф = λXe , тогда

t* =

1

ln

λI (λXe +σaXeΦ0 )

. (2.33)

λ

I

−λ

Xe

λ

λ

I

+σXeΦ

0

+ξ

Xe

(λ

I

−λ

Xe

) / ξ

Xe

a

I

Из формулы следует, что

при σaXeФ0 >> λXe

t* ~ 4 104 с или 11 ч;

при меньших значениях Ф0 величина t* уменьшается.

97

Рис. 2.2. Зависимость глубины йодной ямы (1) и равновесного отравления ксеноном (2)

от плотности потока нейтроно

Обратим внимание еще на одну особенность поведения реактивности в зависимости от времени после сброса мощности до нулевого значения. Если после сброса мощности реактора и окончания переходных процессов реактор будет иметь нулевую реактивность, то после прохождения во времени йодной ямы его реактивность возрастает и достигает нулевого значения в момент времени t0. Это время зависит от глубины йодной ямы (и соответственно от плотности потока нейтронов, которая была до сброса мощности); значения t0 в функции плотности потока нейтронов приведены в верхней части рис. 2.2.

Медленный дрейф реактивности происходит и при изменениях плотностей потоков нейтронов (мощностей) от Ф0 до Ф1, когда и Ф0 и Ф1 не равны нулю. Временные изменения реактивности также рассчитываются по (2.30) и (2.31); при этом Ф0 – начальная плотность потока, а Ф1 – плотность потока нейтронов после изменения мощности.

При резком подъеме мощности (Ф1 > Ф0) реактивность сначала возрастает, а затем достигает нового, более низкого уровня значения стационарного отравления. При резком сбросе мощности (Ф1 < Ф0) реактивность вначале уменьшается, а затем достигает нового уровня равновесного отравления. Эти зависимости приведены на рис. 2.3.

Реальные равновесные отравления реакторов ксеноном приведены в табл. 2.4. Из таблицы следует, что выше проведенные качественные оценки потери реактивности из-за накопления ядер ксенона оказываются достаточно близкими к реальным.

98

Рис. 2.3. Поведение реактивности при резких изменениях мощности от начального значения 50 % номинального уровня до:

1 – w1 = 100 %; 2 – w2 = 75 %; 3 – w3 = 25 %; 4 – w4 = 10 %

Наличие йодной ямы, как при сбросе мощности, так и при ее снижении может оказывать существенное влияние на возможности управления мощностью реактора. Если при сбросе мощности глубина йодной ямы окажется больше имеющегося запаса реактивности, то для вывода реактора вновь на мощность необходимо время для выхода реактора из йодной ямы. Такая ситуация может иметь место в конце кампании работы реактора, когда исчерпан запас реактивности. (см. рис. 2.1). Если при снижении мощности реактора потеря реактивности окажется больше, чем имеющийся запас реактивности, то мощность реактора может быть полностью потеряна (типичный пример положительной обратной связи по реактивности).

Таблица 2.4

Равновесное отравление реакторов ксеноном и самарием, а также глубина иодной ямы при сбросе мощности от номинальной

до нулевой, % k/k

	Реактор	Равновесное отравление		Глубина йодной
		ксеноном	самарием	ямы
	ВВЭР-440	–2,53	–0,51	–4,5
	ВВЭР-1000	–2,68	–0,55	–4,7
	РБМК-1000	–2,98	–0,61	–3,4

Следует отметить, что в приведенных рассуждениях не приняты во внимание обратные связи реактивности по мощности и температуре реактора. Эти обратные связи являются отрицательными и они в известной мере (в зависимости от характеристик реактора и мощности) могут «сгладить» положительную обратную связь по кон-

99

центрации ядер ксенона. (Влияние обратных связей на кинетику реактора рассматриваются в гл. 5.)

Приведенные данные по переходным процессам (зависимость реактивности от времени при скачкообразном изменении мощности), обусловленные накоплением ядер 135Xe, здесь рассматривались для точечного реактора. В реальных реакторах больших размеров возникают пространственно-временные колебания плотности потока нейтронов (энерговыделения), обусловленные вносимыми в реактор возмущениями (например, движением поглощающих стержней). Математическое моделирование таких процессов весьма сложно, поэтому в данном учебном пособии ограничимся качественным описанием процесса. Пусть большой реактор на тепловых нейтронах типа РБМК-1000 длительное время находится в стационарном состоянии. В реакторе энерговыделение является функцией координат, поэтому в каждом элементе объема устанавливаются соответствующие плотностям потоков нейтронов концентрации ядер 135Xe и 135I. Если, например, не изменяя реактивности, ввести поглощающий стержень и вдали от него извлечь поглощающий стержень, то произойдет возмущение плотности потока нейтронов. Вблизи введенного поглощающего стержня плотность потока нейтронов снизится, а вблизи извлеченного – увеличится. Кроме того, менее значительные изменения плотности потока нейтронов произойдут во всей активной зоне реактора. Этот процесс изменения пространственной плотности потока нейтронов и, следовательно, энерговыделения произойдет практически одновременно с перемещением поглощающих стержней.

Что же будет происходить в активной зоне реактора после этого? В тех локальных областях активной зоны, где плотность потока нейтронов снизилась, начнется рост концентрации ядер ксенона, и плотность потока будет продолжать снижаться. После достижения максимума (через 10 ч) начнется снижение концентрации ядер ксенона, которое через несколько десятков часов достигнет нового равновесного уровня. Обратная картина будет наблюдаться в тех локальных областях, где плотность потока нейтронов повысилась. Здесь вначале концентрация ядер ксенона снижается и продолжается рост плотности потока нейтронов. В конце концов, установится более высокая равновесная концентрация ядер ксенона. Локаль-

100