Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

T =T	+	w	,	T =T	+	w		+	w	.
		2С G				K
в в1				т в1			т		2С G
		в в							в в

Из последних выражений можно найти производные температур топлива и теплоносителя по мощности:

dTв

=

1

,

dTт

=

1

+

1

.

(5.10)

dw

2С G

dw

K

т

2С G

в

в

в

в

Подставим их в (3.54) и выразим αw через αт и αв :

		1		1			αв		(5.10а)
	αw = αт		+			+		.
		Kт		2СвGв			2СвGв

Для проведения расчетов по (5.9) надо разбить интервал изменения мощности от начальных условий w0 до (w0+ρ0/ αw ) на точки wi и для каждого wi находить ti. Причем t стремится к бесконечно большому значению, когда w стремится к А/С = w0+ρ0/ αw . При расчетах следует иметь в виду, что ρ0 – алгебраическая величина. По приведенным соотношениям возможны расчеты и при введении отрицательной реактивности. В этом случае мощность через 2–3 мин застабилизируется на новом, более низком уровне.

На рис. 5.1 приведены результаты «точных расчетов» (на основе численного интегрирования уравнений (5.1)–(5.2) с одной группой запаздывающих нейтронов) для поставленной задачи и приближенных, выполненных по формуле (5.10). Как и следовало ожидать, приближенные расчеты хорошо согласуются с результатами, полученными путем численного решения уравнений динамики при реактивностях меньших 0,1 ÷ 0,2 βэфф и правильно предсказывают асимптотические значения мощности.

Рассмотрим следующую задачу. Найдем временное поведение реактора, у которого есть обратная отрицательная связь по мощности и задана скорость потери реактивности в результате выгорания топлива. Особенность такой задачи – очень медленные изменения мощности, поскольку темп потери реактивности для реакторов лежит в пределах (1÷6) 10-4 1/сут и, следовательно, за несколько часов изменения реактивности не превысит нескольких тысячных

Здесь и далее под результатами «точных расчетов» понимаются результаты, полученные путем решения исходной задачи численными методами .

221

процента. Такая реактивность, будучи введенной в реактор мгновенно, приведет к появлению асимптотического периода около или больше получаса. Поэтому с полным основанием при решении сформулированной задачи можно использовать уравнение динамики, в основе которого лежит предположение об очень медленных переходных процессах в реакторе, и, следовательно, которые можно уверенно описать в приближении мгновенного скачка с одной группой запаздывающих нейтронов.

Рис. 5.1. Отклик реактора с αw = –1,28·10-4 1/(% wном) на ступенчатое изменение реактивности при Λ = 10-3 с, λ = 0,1 с-1, β = 6,4·10-3 и w0 = 1 % wном

Дифференциальная форма уравнения в приближении мгновенного скачка приведена выше [см. (5.7)]. Здесь также не принят во внимание источник нейтронов, поскольку для энергетических реакторов на номинальных уровнях мощности вклад источника пренебрежимо мал.

В рассматриваемом случае изменение реактивности возникает из-за выгорания топлива и поэтому является функцией времени. Будем считать, что потеря реактивности пропорциональна уровню мощности и линейно связана со временем, а МКР имеет абсолют-

222

ное значение αw, отрицателен и является производной dρ/dw. Темп потери реактивности из-за выгорания (производная реактивности по времени) зависит и от уровня мощности. Если темп потери реактивности при номинальном уровне мощности αt, то при любом

другом уровне мощности αt(w) = αt(w0)w0 t/w.

Следует также отметить, что здесь не принимаются во внимание переходные процессы, связанные с нестационарным отравлением реактора 135Хе. Этот эффект не так мал при сравнительно низких уровнях мощности, когда стационарное отравление оказывается пропорциональным уровню мощности. Полагая, что стационарное отравление ксеноном в ВВЭР составляет 2,5 % k/k и стационарное отравление реактора пропорционально его мощности, получаем в качестве верхней оценки: приобретение реактивности за счет уменьшения количества ксенона при падении мощности составляет около 2,5 10-5 1/МВт.

Надо помнить, что при падении мощности на 1 МВт в данный момент положительная реактивность в указанных выше размерах появится через 40÷50 ч. Если спад мощности происходит длительное время и примерно с одинаковой скоростью, то изменение реактивности из-за уменьшения количества ядер ксенона можно рассматривать так же, как и обратную связь по мощности. Поэтому в реакторах на тепловых нейтронах под αw надо понимать сумму температурных и «ксенонового» КР. Можно ожидать, что в реакторах на быстрых нейтронах, где нет нестационарного отравления ксеноном и самарием, спад мощности будет происходить более высокими темпами.

Приняв во внимание сделанные предположения, реактивность можно записать в виде

ρ = ρ0 + αt (w0 )w0t / w + αw (w − w0 ),

(5.11)

где ρ0 и w0 – реактивность и мощность в момент времени t = 0. При этом еще раз напомним, что КР αt и αw являются отрицательными.

Сделаем еще одно упрощение, полагая, что при решении нас будут интересовать незначительные изменения мощности. Тогда можно считать, что темп потери реактивности из-за выгорания не зависит от уровня мощности. Введем абсолютные величины для КР

иполучим:

ρ= ρ0 − αt t + αw (w0 − w) и dρ / dt = − αt − αw (dw / dt). (5.12)

223

После подстановки (5.12) в (5.7), необходимых преобразований и пренебрежения реактивностью в сравнении с эффективной долей запаздывающих нейтронов (так как ρ << β), получим дифференциальное уравнение

(dw / dt)( αw +β / w) = λρ0 −λ αt t + λ αw (w0 − w) − αt . (5.13)

С хорошей точностью можно считать, что множитель в левой части уравнения является постоянной величиной, если рассматривать решения в области времен, когда мощность изменяется в пределах 10–20 %. В таком случае уравнение (5.13) сводится к неоднородному линейному уравнению, решение которого имеет вид

w(t) = a + b −

αt

t /

αw

+ (w0 − a −b)exp[−

αw

λt / (

αw

+β / w0 )],

(5.14)

где a = (λρ

0

−

α

t

+ λ

α

w

w ) / (λα

w

); b =[

α

t

(

α

w

+β / w )] / (λα

2 ).

0

0

w

После сравнительно быстрого переходного процесса (за время t*, равное нескольким средним временам жизни запаздывающих нейтронов) устанавливается линейный спад мощности во времени.

Отметим некоторые свойства полученного решения (5.14). Как и следовало ожидать, при t = 0 w(0) = w0. Во время быстрого переходного процесса, если введена положительная реактивность, мощность увеличивается настолько, что компенсирует введенную реактивность. При t = 1/λ из (5.14) получаем

w* = w0[1+ρ0 / αw w0 + αt β / (λαw2 w02 )] ,

которую можно принять в качестве некоторого аналога квазистационарного состояния после завершения быстрого переходного процесса.

При t > t* в (5.14) можно пренебречь экспоненциальным членом. В этом случае

w(t) ≈ w [1+ ρ

0

/

α

w

w +

α

t

β / (λα

w

2 w 2 )] +

α

t

(1 / λ −t) /

α

w

. (5.14 а)

0

0

0

Если процесс наблюдения начинается при нулевой начальной реактивности, то быстрые изменения мощности после «включения» реактора ко времени t* приведет к ничтожному возрастанию мощности.

Если в рассматриваемой задаче положить темп потери реактивности из-за выгорания топлива равным нулю, то мы придем к условиям предыдущей задачи. Однако решение (5.14) будет адекватным решению (5.10), если приращение мощности будет много меньше

224

уровня исходного значения мощности (условие получения решения в виде (5.14)).

На рис. 5.2. приведены рассчитанные по (5.14) и (5.14а) зависимости мощности реактора от времени при различных темпах потери реактивности*. На этом же рисунке приведены точные расчеты, полученные решением уравнений кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов и уравнения (5.11) методом Рунге–Кутта 4-го порядка. Видно, что согласие между «точными» и приближенным расчетами хорошее, что, впрочем, вполне естественно, поскольку приближения «мгновенного скачка» в поставленной задаче выполняются полностью.

Рис. 5.2. Отклик реактора с αw = –1,28·10-4 1/(% wном) на ступенчатое изменение

реактивности ρ0 = 0,1β при Λ = 10-3 с, λ = 0,1 с-1, β = 6,4·10-3 и w0 = 100 % wном

и разных темпах потери реактивности α

Спад мощности во времени происходит линейно и, в частности, для реактора БН-600 происходит со скоростью около 38 МВт в сутки.

* С целью демонстрации особенностей решений темпы потери реактивности искусственно завышены до значений (0,01–0,02)β в час.

225

Оценим, каковы будут показания реактиметра в данной ситуации. Воспользуемся обращенным уравнением кинетики (см. формулу (1.83)), подставим в него зависимость мощности от времени в виде w* + αt (1/λ – t)/ αw и после интегрирования (при этом считаем, что в реакторе нет источника, процесс очень медленный и можно пренебречь производной мощности по времени) получаем в одногрупповом приближении:

ρ(t) / β =1−[w* + αt (2 / λ −t) / αw ] / [w* + αt (1/ λ −t) / αw ], (5.15)

где w* – значение мощности после окончания быстрого переходного процесса.

Рис. 5.3. Изменение реактивности во времени, вызванное скачком

реактивности величиной ρ0 = 10-3β при αw = –1,28·10-4 1/(% wном), Λ = 10-3 с,

λ = 0,1 с-1, β = 6,4·10-3, w0 = 100 % wном и αt = –3,56·10-8 1/c

Сравнение поведения реактивности во времени (рис. 5.3), полученного численным решением уравнений кинетики одногрупповом приближении совместно с (5.11) и вычисленного по формуле (5.15), показывает, что последнее дает удовлетворительную точность при t > t*, когда заканчивается быстрый переходный процесс.

Если использовать параметры реактора БН-600, то значение реактивности составит около 3 10-6 k/k. Постоянную составляющую

226

реактивности такого уровня практически невозможно выделить на фоне реактивностных шумов.

Представляет интерес рассмотреть поведение реактора при адиабатических условиях и при малых введенных реактивностях таких, чтобы можно было использовать приближение мгновенного скачка и обратную связь по температуре всего реактора в целом. Эта задача внешне напоминает уже решенную, в которой рассматривалось поведение мощности реактора во времени после введения положительной реактивности и наличия обратной связи по мощности при условии снятия тепловой энергии пропорциональной выработанной [см.(5.10)].

Как будет ясно из последующего, условия снятия тепла с реактора при изменениях его мощности коренным образом влияют на форму временного поведения мощности. Действительно, в случае обратной связи по мощности, т.е. при условии, что вся мощность отводится и температура активной зоны пропорциональна мощности реактора, максимально возможное приращение мощности равно введенной положительной реактивности, деленной на МКР. Другими словами, при обратной связи по мощности реактор после введения реактивности вновь окажется в стабильном состоянии на новом уровне мощности.

В случае адиабатического процесса, когда отсутствует отвод мощности от реактора, отрицательная обратная связь обеспечивается ТКР, и температура реактора будет расти до тех пор, пока реактор имеет отличную от нуля (или от первоначального уровня) мощность. При этом введение положительной реактивности приведет к повышению температуры реактора, но после переходного процесса он (реактор) вернется на первоначальный уровень мощности.

При малых реактивностях можно использовать уравнение мгновенного скачка (5.7). В случае адиабатического процесса надо принять зависимость реактивности от времени в виде ρ = ρ0 – αт (T–T0) и, следовательно, dρ/dt = – αт dT/dt. Учтем также, что производная температуры по времени пропорциональна мощности и обратно пропорциональна теплоемкости реактора Сp, т.е. dT/dt = w/Cp. Учитывая приведенные соотношения, можно записать уравнение (5.7) в виде

dw / dt = (λρ−		αт		w / Cp ) w / (β−ρ).	(5.16)

227

Из уравнения (5.16) можно исключить время, разделив его на dρ/dt = – αт w/Cp:

dw / dρ = ( αт w / Cp −λρ)Cp / [ αт (β−ρ)].

Для удобства нахождения решения уравнение (5.17) смысл переписать в виде

(β−ρ)dw +	λCp					ρ−w dρ = 0.
			αт

(5.17)

имеет

(5.17а)

Теперь левая часть уравнения (5.17а) представляет собой полный дифференциал, интеграл которого имеет вид

λCp					ρ2 +(β−ρ)w = B.	(5.18)
2		αт

Если предположить, что сразу после скачка реактивности величиной ρ0 в начальный момент времени уровень мощности близок к нулю и подставить w = 0 и ρ = ρ0 в (5.18), то найдем, что В = = –λCpρ2/(2|αт|). Подставив последнее выражение в (5.18), получаем параметрическое уравнение

w(ρ) = +	λCp				ρ02 −ρ2
					β−ρ .	(5.19)
	2		αт

Семейство кривых w(ρ) для разных значений ρ0, построенных в координатах ρ и w (рис. 5.4) называются фазовыми траекториями изображающей точки (фазовым портретом) на фазовой плоскости w, ρ.

После введения положительной реактивности мощность начинает расти, а реактивность уменьшается и, когда мощность достигает своего первоначального значения, реактивность оказывается равной –ρ0. Таким образом, можно найти приращение температуры, которое будет равно 2ρ0/ αт .

Найдем, при каком значении реактивности мощность достигает своего максимального значения. Производная мощности по времени становится нулевой, когда числитель (5.16) равен нулю (при переходе от роста мощности к ее уменьшению dw/dt = 0). Откуда максимальное значение мощности оказывается равным:

wmax =λρ*Cp /		αт		,	(5.20)

где ρ* – реактивность в момент, когда мощность имеет максимальное значение.

228

Рис. 5.4. Фазовый портрет адиабатического разгона реактора в приближении мгновенного скачка при β = 5·10-3, λ = 0,1 с-1, Cp = 77·106 Дж/ °С, αт = –2·10-5 1/°С

Если параметрическое уравнение (5.19) записать для максимального значения мощности, т.е. заменить w на wmax в соответствии с (5.20), а текущие значения ρ на ρ*, то получим квадратное уравнение

(ρ*)2 −2βρ* +ρ02 = 0,

(5.21)

один из корней которого меньше β и, следовательно, удовлетворяет поставленным условиям и позволяет найти значение реактивности в момент, когда мощность имеет наибольшее значение:

ρ* =β− β2 −ρ02 .

(5.22)

Подставив (5.22) в (5.20) находим максимальное значение мощ-

	ности	λCP	(β− β2 −ρ02 ),
	wmax =			(5.23)
		αт

которое зависит от введенной реактивности, коэффициента обратной связи по температуре и теплоемкости всего реактора. В табл. 5.1 приведены рассчитанные по приближенным соотношениям приращение температуры и максимальное значение мощности в зависимости от реактивности.

229

Таблица 5.1

Максимальная мощность и температура при адиабатическом процессе в зависимости от введенной реактивности

(β = 5 10-3; Λ = 5 10-4 с; λ = 0,1с-1; αт = 2 10-5 1/°С; Cp = 77 MДж/°С)

ρ0, β	0,05	0,1	0,2	0,3	0,5	0,7	0,9	1,00
wmax ,MВт	2,4	9,6	38,8	88,4	257	549	1083	1920
Т, К	12,5	25	50	75	125	175	215	250
w0, (c-1)	0,0052	0,011	0,025	0,043	0,10	0,233	0,90	1

На рис. 5.5. приведены временные зависимости реактивности и мощности реактора, полученные путем численного интегрирования уравнений (5.16) и dρ/dt = – αт dT/dt. Как и следовало ожидать, характерные точки на приведенных временных кривых (см. рис. 5.5) совпадают с аналогичными точками на фазовых траекториях (см. рис. 5.4) и данными табл. 5.1. Однако относительно большая длительность протекания переходных процессов (десятки минут), обусловленная небольшими введенными реактивностями (0,1 – 0,5) β, указывает на приближенность адиабатического подхода, и необходимость учета реальных процессов теплообмена в реакторе. В то же время, есть основание полагать, что адиабатическая модельбудет давать более точные результаты при рассмотрении разгона реактора на мгновенных нейтронах, ибо длительность переходных процессов в этом случае порядка секунды и за такое короткое время реактор «не успевает» отдать тепло в окружающую среду.

5.3. Решения уравнений динамики, пренебрегая вкладом запаздывающих нейтронов

Теперь рассмотрим задачу, в которой предполагается, что мощность не отводится из системы, т.е. реализуется чисто адиабатический процесс. Конечно, таких условий в практике нет. Но в некотором приближении этим условиям соответствует работа реактора при постоянной отводимой мощности, а также разгон реактора на мгновенных нейтронах, когда тепловая энергия не успевает "покинуть" реактор.

230