Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

ные изменения концентраций ядер ксенона и плотностей потока нейтронов приведут к изменению реактивности реактора в целом.

Следует добавить одно важное обстоятельство.

Как уже отмечалось, плотность потока нейтронов и концентрация ядер ксенона взаимосвязаны. Поэтому для расчета локальных изменений концентрации ядер ксенона и плотности потока нейтронов нельзя воспользоваться приведенными выше формулами (2.26)

и(2.31), поскольку они записаны для случая изменения плотностей потока нейтронов от одного до другого уровня, который поддерживается постоянным. Практически это означает, что изменения реактивности, вызванное вариациями концентрацией ядер ксенона, компенсируется перемещениями органов регулирования.

Врезультате качественно описанных процессов в больших реакторах возникают медленные изменения во времени реактивности

ипространственного распределения энерговыделения. Пространст- венно-временное изменение энерговыделения называют ксеноновыми волнами или колебаниями. Ксеноновые волны существенны для реакторов типа РБМК, поскольку может происходить перегрев

инедогрев технологических каналов. Для погашения ксеноновых колебаний в реакторах РБМК имеется специальная система автоматического регулирования энерговыделения в активной зоне.

2.2.2. Отравление реактора самарием

Заметный вклад в отравление реактора вносит нуклид 149Sm, который образуется как непосредственно при делении ядра, так и из ядер 149Pm в результате β−-распада (кумулятивный выход ядер 149Pm составляет 1,2%):

149	Nd →		Pm →		Sm (стабилен)	(2.34)
	β−	149	β−	149
	1.7 ч		51.3 ч

Сечение поглощения тепловых нейтронов ядрами 149Sm сравнительно велико и составляет 6,6 104 барн. Для описания временного поведения количества ядер 149Sm и 149Pm могут быть составлены уравнения баланса, аналогичные (2.24). Из этих уравнений получа-

ем равновесные количества ядер 149Pm и 149Sm в виде
n	=	ξPmΣf Φ	;	n	=	(ξPm + ξSm )Σf	,	(2.35)
Pm		λPm		Sm		σSmа

101

где ξPm и ξSm – кумулятивный выход ядер 149Pm и независимый выход ядер 149Sm при делении ядер соответственно; λPm – постоянная распада 149Pm (λPm=3,75 10-6 с-1); σSmа – сечение поглощения тепло-

вых нейтронов ядрами 149Sm .

Изменение количества ядер 149Sm во времени nSm(t) после скачкообразного изменения потока нейтронов от 0 до Ф1 можно по ана-

логии с (2.26) записать в виде
nSm (t) =	(ξPm + ξSm )Σf				−		σSmΦ		exp(−λPmt) +
				1			а	1
		Sm					Sm
		σа					σа Φ1 −λPm		*	(2.36)
			λPm			exp(−σSmа
	+							Φ1t) .
		Sm
		σа Φ1 −λPm

Это соотношение несколько упрощено: было предположено, что все ядра 149Sm возникают только из ядер 149Pm, а кумулятивный выход последнего принят равным (ξPm + ξSm), поскольку ξPm >> ξSm, и практически всегда можно считать ξPm + ξSm ≈ ξPm.

При получении (2.36) приняты граничные условия nSm (t = 0) = 0. Такие граничные условия возможны только для свежего, необлученного топлива. Топливо, которое облучалось в реакторе, обязательно содержит определенное количество ядер 149Sm. Концентрация ядер 149Sm после выгрузки топлива из реактора и радиоактивного распада ядер 149Pm зависит от плотности потока нейтронов, в котором находилось топливо. Если принять во внимание, что nSm(t = 0) > 0, то к правой части (2.36) следует добавить еще одно

слагаемое
nSm(t = 0)exp[– σSmа Ф1t].	(2.37)

Из (2.35) и (2.36) следует, что равновесное количество ядер 149Sm не зависит от уровня мощности реактора, но может быть достигнуто за время порядка нескольких периодов полураспада 149Pm,

если потоки нейтронов велики настолько, что λPm < σSma Ф1 , т.е. за время порядка десяти суток. Если же потоки нейтронов в реакторе малы (при σSma Ф1 < λPm ), то для достижения равновесного количества ядер самария потребуется большее время – порядка ~5/ σSma Ф1 .

* Зависимость (2.36) на первый взгляд имеет расходимость при σSmФ1=λPm. После раскрытия неопределенности получаем nSm(t) = (ξPm+ ξSm)Σf [1–λPmtexp(–λPm.t)]/λPm.

102

Например, если поток нейтронов составляет 1012 нейтр./см2 с, то σSma Ф1 ≈7 10-8 и, следовательно, потребуется около трех лет для дос-

тижения равновесного количества ядер самария.

Из приведенного выше соотношения (2.36) с добавлением (2.37) следует, что какой бы ни была начальная концентрация ядер самария в конце кампании работы реактора, длительностью Т, если, ко-

нечно, σSma Ф1 Т > 5, достигается равновесная концентрация ядер са-

мария, не зависящая от плотности потока нейтронов.

Очевидно, что после останова реактора, в котором была достигнута равновесная концентрация ядер самария, их количество начнет возрастать за счет β−-распада ядер 149Pm и, в конце концов, примерно через 10 сут после останова реактора количество ядер 149Sm будет равно сумме равновесных концентраций (2.35):

n	=	ξPmΣf Φ1	+	(ξPm + ξSm )Σf	≈	ξPmΣf Φ1	1+	λPm			. (2.38)
				Sm
Sm		λPm				λPm		Sm	Φ1
				σa				σa

Таким образом, в топливе, побывавшем в потоке нейтронов, всегда имеется определенная концентрация ядер самария, причем концентрация тем выше, чем больше была плотность потока нейтронов. В то же время во время работы реактора, независимо от его уровня мощности и количества имевшегося в топливе самария до начала работы реактора, устанавливается равновесное количество ядер самария.

Однако эти процессы происходят за сравнительно небольшие времена в том случае, если σSma Ф > λPm , т.е. при Ф > 5·1013 нейтр./cм2 с.

На рис. 2.4 показана зависимость nSm(t) при различных режимах работы реактора. Для наглядности предполагается, что длительность работы на мощности и длительность останова реактора достаточны для установления равновесной концентрации ядер самария. Это означает, что длительность останова всегда более 10 сут, а

работа на уровне мощности более 15 сут при условии σSma Ф > λPm .

Из графика видно, что в течение останова реактора равновесное количество ядер 149Sm всегда больше равновесного количества этих ядер при работе реактора на мощности.

103

Рис. 2.4. Зависимость концентрации ядер самария в функции времени при различных режимах работы реактора:

I – работа реактора на мощности со свежим (необлученным) топливом; II – реактор заглушен; III – реактор выведен на мощность.

Для режимов I и III указаны плотности потоков нейтронов

Связь между реактивностью и концентрацией ядер самария можно получить аналогично тому, как это было сделано ранее (см. соотношения (2.27)–(2.32)). Равновесная потеря реактивности при работе реактора на мощности оказывается равной

ρSm (равновесная) = −(ξPm +ξSm ) / νC1 .

(2.39)

При νС1 = 2,2 отрицательная равновесная реактивность состав-

ляет – 0,5%.

После останова реактора равновесная реактивность за счет накопления ядер самария уже зависит от плотности потока нейтронов Ф и может быть записана в следующем виде:

ρSm (равновесная) =

(2.40)

= −(ξ

Pm

+ ξ

Sm

) 1+ ξ

Pm

ΦσSm / λ

Pm

(ξ

Pm

+ ξ

Sm

)

/ νC .

{

a

}

1

Добавка к единице в скобках равна 2,1·10-14Ф [нейтр./см2 с]. Следовательно, при плотности потока нейтронов 1014 нейтр./см2 с за счет радиоактивного распада ядер прометия появится дополнительная отрицательная реактивность порядка 1 %.

104

Если запас реактивности реактора менее 1 %, то такой реактор нельзя будет вывести на мощность без перегрузки топлива, если он был остановлен более чем на 10 сут. Такую ситуацию называют «прометеевой смертью» реактора. Другими словами, реактор попадает в своего рода прометиевую яму, глубина которой не изменяется во времени.

Стационарное отравление мощных энергетических реакторов 149Sm составляет 0,5–0,6 % k/k (см. табл. 2.4), что совпадает с приближенными оценками, сделанными выше.

В заключение этого раздела отметим, что равновесное отравление самарием всего лишь в несколько раз меньше, чем отравление ксеноном, для которого сечение поглощения почти в 100 раз больше, чем у самария.

Качественно это можно оценить, обратив внимание на приближенную формулу для определения равновесной потери реактивности (2.32), которую запишем для любого осколка деления, используя его кумулятивный выход ξi:

ρ		=	ξ		σi	Φ	.	(2.41)
	i			i	a
			ν (λi +σiaΦ)
Для стабильных осколков деления и при								σiaФ >λi потеря реак-

тивности ρi, обусловленная накоплениеем i-го осколка деления, определяется только его кумулятивным выходом, но (в этом и заключается сравнительно малое отравление осколками деления) требуются очень большие времена, зачастую много больше времени нахождения топлива в реакторе, чтобы каждый нуклид успел внести в отравление вклад, пропорциональный его кумулятивному выходу при делении. Другими словами, необходимы условия, когда происходит достижение равновесного количества данного осколка деления. Именно при этих условиях и получены формулы

(2.32) и (2.41).

Поэтому если длительность кампании реактора около года, только такие нуклиды, для которых σiaФ >2 10-7c-1 > λi, успевают внести вклад в отравление реактора, пропорциональный своему выходу ξ. Именно к таким нуклидам можно отнести ядра самария и ксенона. Для этих нуклидов равновесное отравление пропорционально их кумулятивному выходу, если Ф ≥ 5 1013 нейтр./(см2 с).

105

2.2.3.Нептуниевый эффект

Вреакторах на быстрых нейтронах при изменениях мощности

реактора следует принимать во внимание так называемый нептуниевый эффект, который связан с задержкой превращения 239U в ядра 239Pu, поскольку период полураспада промежуточного ядра в

этой цепочке превращений 239Np составляет 2,3 дня (λNp = 3,5·10-6 с-1). Таким образом, происходит «задержка» образования ядер плутония, поэтому, например, при быстром выводе реактора на мощность (в течение 5÷15 ч) потеря реактивности за счет выгорания в первые несколько суток работы заметно выше, чем при последующей работе реактора на этом же уровне мощности. «Потерянная» реактивность будет компенсирована после останова реактора. Если резко сбросить мощность, то реактивность реактора возрастет, поскольку находящийся в равновесной концентрации 239Np превращается в 239Pu, который и создает положительный эффект реактивности. Реактивность, обусловленная нептуниевым эффектом, мала. Например, для типичного энергетического реактора на быстрых

нейтронах она достигает всего лишь 0,15 βэфф.

Нептуниевый эффект реактивности есть и в реакторах на тепловых нейтронах. Но его можно не принимать во внимание, поскольку переходные процессы при изменениях и сбросе мощности в реакторах на тепловых нейтронах определяются временной зависимостью концентраций осколков деления 135Xe и 149Sm, эффекты реактивности от которых намного больше (см. табл. 2.4).

Зависимость количества ядер нептуния от времени при работе реактора на постоянном уровне мощности имеет вид

N39(t) = N28 σс28 Ф[1 – exp(–λNpt)]/λNp. (2.42)

При получении данной зависимости пренебрегли выгоранием ядер 238U и 239Np. Из (2.42) следует, что в реакторе, работающем на постояннм уровне мощности, после сравнительно короткого времени устанавливается равновесная концентрация ядер 239Np, равная

N28 σс28 /λNp.

Сравнительно простое соотношение можно получить и для накопления ядер 239Pu с учетом их образования в результате радиоактивного распада ядер 239Np, если пренебречь выгоранием ядер 239Pu:

106

N28 σc28

N49(t) = N28 σс28 Фt {1 – [1 – exp(–λNpt)]/(λNpt)} .

(2.43)

Если бы плутоний образовывался мгновенно из ядер урана (λNp бесконечно велико), то накопление плутония происходило бы по линейному закону в принятом приближении. С учетом цепочки радиоактивных превращений количество ядер N49(t) во временном интервале t<3/λNp будет меньше по сравнению с линейным накоплением этих ядер во времени. Если реактор проработал длительное время T, и в нем накопилось N49(T) ядер плутония, то после сброса мощности в результате радиоактивного распада ядер нептуния в реакторе появится добавка ядер плутония, приблизительно равная

Ф/λNp. Это приводит к увеличению реактивности реактора. Реактивность реактора после сброса мощности увеличивается

по вполне очевидному закону
		(2.44)
ρ(t) ≈ 0,15βэфф 1	−exp(−λNpt) .

Нептуниевый эффект важно принимать во внимание при измерениях потери реактивности из-за выгорания топлива, если такие измерения проводятся сразу же после вывода реактора на мощность или после изменения уровня мощности. После того как реактор выведен на мощность, потерю реактивности в единицу времени

можно записать в виде
		,	(2.45)
dρ(t) / dt = −A + B 1	−exp(−λNpt)

где А – потеря реактивности вследствие выгорания топлива и накопления осколков деления в стационарном режиме без учета вклада в реактивность образующихся ядер плутония; В – увеличение реактивности в результате образования 239Pu из ядер 238U.

Таким образом, наблюдаемая скорость потери реактивности dρ/dt при малых λNpt (т.е. сразу же после выхода реактора на мощ-

ность) превышает величину dρ/dt, измеренную после работы реактора в течение 10 сут и более. Надо отметить, что это превышение может достигать значений 1,5–2,5.

Еще раз отметим, что приведенные выше формулы для оценки нестационарного отравления записаны для «точечной» модели ре-

Это вполне допустимое приближение (погрешность не более нескольких процентов) для реальных плотностей потоков нейтронов и времени работы реактора в течение нескольких десятков суток.

107

актора, т.е. в предположении, что поток нейтронов в реакторе всюду одинаков. Задача существенно усложняется, если принять во внимание реальное пространственное распределение потоков нейтронов и концентраций делящихся материалов.

Контрольные вопросы

1. Оцените, насколько отличается переводной коэффициент между

единицами измерения глубины выгорания топлива МВт сут/кг и % т.я. при работе реактора только на 233U и 239Pu.

2.Найдите отношение количеств ядер 239Pu и 240Pu в асимптотике по времени при использовании уранового топлива в тепловом и быстром реакторах.

3.Запишите формулы для расчета реактивности, обусловленные конкретным осколком деления, при времени Т облучения топлива и различ-

ных соотношениях между λi, σiФ и Т.

4.Оцените темп потери реактивности за счет накопления осколков деления в предположении, что среднее микроскопическое сечение осколка деления составляет 0,5 барн и не зависит от глубины выгорания.

5.При каких плотностях потока нейтронов необходимо принимать во

внимание выгорание ядер йода в формуле (2.24). Принять, что сечение поглощения тепловых нейтронов ядрами 135I равно 20 барн.

6.Найдите аналитическую связь между глубиной йодной ямы и моментом времени, когда реактивность окажется равной исходной (в момент сброса мощности до нуля).

7.Сколько потребуется времени после сброса мощности реактора до нуля, чтобы в реакторе осталось менее 1% ядер 135Хе.

8.Возможно ли (и при каких условиях), чтобы стационарное отравление реактора за счет накопления ядер самария было больше аналогичного за счет накопления ядер ксенона?

9.При каких условиях, и до какого значения при выводе реактора на мощность реактивность, обусловленная наличием ядер 149Sm, будет возрастать со временем?

10.Дайте качественное объяснение возникновению ксеноновых коле-

баний.

11.Как будет изменяться реактивность реактора, обусловленная ядрами 135Xe, проработавшего длительное время на постоянном уровне мощности, если произошло снижение (увеличение) мощности вдвое?

12.То же для реактивности, обусловленной ядрами 149Sm.

108

Глава 3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ

3.1. Вводные замечания

Из предыдущих глав следует, что при введении в реактор реактивности происходят сложные процессы: изменяется плотность потока нейтронов, что влияет на скорость делений и, следовательно, мощность реактора, что, в свою очередь, влияет на температурные распределения в реакторе и т.д. Поэтому можно говорить о связях параметров реактора с реактивностью.

При анализе поведения мощности реактора во времени надо знать, как зависит реактивность от параметров реактора. Эти зависимости иногда называю обратными связями, и они имеют решающее значение при анализе безопасности реактора.

Реактивность реактора (или kэфф) в большей или меньшей степени зависит практически от всех его технологических параметров: температуры, давления, мощности, расхода теплоносителя, положения органов регулирования в активной зоне и др.

Анализируя зависимость реактивности от различных параметров, уместно задать вопрос: а почему реактивность зависит от технологических параметров? Для прояснения этого вопроса запишем в простейшем виде алгоритм вычисления эффективного коэффициента размножения.

Эффективный коэффициент размножения реактора и, следовательно, его реактивность, как было показано раньше, определяется отношением скорости рождения нейтронов в реакторе к скорости их исчезновения, что, в частности, можно выразить как

kэфф =	∑	∫	dr	∫	dEnνi (En )σif (En )γi (r)ϕ(r, En )		1	=	k∞	, (3.1)
	i
		∑∫dr∫dEnσia (En )γi (r)ϕ(r, En )
							Y Y

i

где интегрирование проводится по всем энергиям нейтронов Еn, по всему объему реактора, а суммирование по всем нуклидам, входящим в состав реактора; k∞ – эффективный коэффициент размножения для бесконечно протяженной среды.

Из (3.1) следует, что эффективный коэффициент размножения зависит от спектрального распределения нейтронов (плотности потока нейтронов) ϕ(r, Еn), от распределения материалов в реакторе

109

γi(r), от микроскопических сечений материалов σfi, σai, от утечки нейтронов Y, которая, в свою очередь, зависит от размеров и состава реактора.

Для характеристики связей реактивности с параметрами реактора вводят коэффициенты реактивности. Если реактивность зависит от какого-нибудь параметра р, т.е. ρ(р) = f(p). То коэффициентом реактивности (КР) по данному параметру называют частную производную от приведенной зависимости, т.е.

КР = ∂ρ(р)/∂р = ∂f(p)/∂р.

(3.2)

Физический смысл данного определения заключается в том, что рассматривается приращение реактивности при единичном изменении параметра р и при постоянстве всех остальных параметров.

Вводят и интегральную характеристику – эффект реактивности, (ЭР), который представляет собой интеграл от КР в заданных пределах изменения параметра от р1 до р2:

p2 ∂ρ( p)

ЭР = ∫ dP. (3.3) p1 ∂ρ

Коэффициенты реактивности можно условно разделить на две группы. К первой отнесем те КР, которые характеризуют мгновенное изменение реактивности при изменении параметра и постоянстве остальных. Ко второй группе отнесем КР, которые действуют на реактивность не непосредственно, а с задержкой и через другие параметры. КР такого рода могут и не иметь какого-либо значения при условии постоянства остальных параметров.

Поясним приведенные рассуждения.

Пусть происходит изменение температуры реактора. Как реактор «узнает», что происходит изменение температуры, как это будет влиять на реактивность?

При изменениях температуры будут происходить изменения плотности ядер γi и размеров реактора и, следовательно, утечка нейтронов. Будет изменяться спектр нейтронов, как минимум, в тепловой и резонансной областях энергий ϕ(r, E). В силу различных температурных коэффициентов расширения материалов будет происходить изменение состава реактора, который определяется

значениями γi(r,Т). В резонансной области будут изменяться средние микроскопические сечения. Даже на интуитивном уровне, рас-

110