Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

зующихся изотопов плутония. Тогда соотношение (П2.5), требование постоянства мощности, будет содержать характеристики только одного нуклида 235U:

ϕ(0)N25(0)σf25 = ϕ(t)N25(t)σf25,

(П2.5а)

Изменение во времени количества ядер N25(t) с учетом (4.5а)

принимает вид:
dN25/dt = – σa25ϕ( t)N25(t) = – σa25ϕ(0)N25(0)
или
N25(t) = N25(0)[1– σa25ϕ(0)t].	(П2.6)

Оказывается убыль делящихся ядер при пренебрежении вклада в мощность от образующихся делящихся ядер, происходит по линейной зависимости. Найдем зависимость плотности потока нейтронов от времени для поддержания постоянной мощности. После подстановки в (П2.5а) N25(t) из (П2.6) получаем временную зависи-

мость φ(t):
φ(t) = φ(0)/[1–σa25ϕ(0)t].	(П2.7)

Зная зависимость плотности потока нейтронов от времени можно найти количество ядер поглотителя в функции времени. Вновь полагая сечение поглощения независимым от времени, запишем (4.1), принимая во внимание изменение во времени плотности по-

тока нейтронов по (4.7):
dNa(t)/dt = – σaϕ(t)Na(t)= – σaNa(t)φ(0)/[1-σa25ϕ(0)t] .	(П2.8)
Это уравнение имеет следующее решение:
Na(t)/Na(0) = [1 – σa25 φ(0)t]σa/σa25 .	(П2.9)

Находим временную зависимость появления положительной реактивности:

ρ+(t) = ρВ[1 – Na(t)/Na(0)] = ρВ{1 – [1 – σa25 φ(0)t]σa/σa25}. (П2.10)

Вреакторах на тепловых нейтронах для поддержания мощности на заданном уровне плотность потока в процессе кампании надо увеличивать, поскольку количество делящихся ядер уменьшается.

Вреакторах на быстрых нейтронах количество делящихся ядер также уменьшается, но заметно меньше. И только в реакторах на быстрых нейтронах, для которых коэффициент воспроизводства активной зоны больше единицы, количество делящихся ядер увеличивается и для поддержания постоянства мощности необходимо снижать плотность потока нейтронов.

Вобщем случае для энергетических реакторов не удается простым способом найти зависимость φ(t) для вычисления зависимо-

291

сти количества ядер выгорающего поглотителя от времени Na(t)/Na(0). Это связано с тем, что в процессе выгорания появляются новые делящиеся нуклиды. Однако можно использовать расчетную зависимость φ(t)/φ(0). Детальные расчеты для реакторов типа ВВЭР позволяют с хорошей точностью аппроксимировать искомую зависимость при длительности кампании Т следующим образом:

φ(t)/φ(0) = (1 + gt/T).

(П2.11)

Коэффициент пропорциональности g зависит от конкретного реактора, от обогащения топлива, от выбранного сценария перегрузки топлива. Коэффициент g оказывается наибольшим в случае трехлетнего цикла и достигает значения g = 0,15.

Вычислим количество ядер поглотителя в функции времени при

линейном росте плотности потока нейтронов:
dNa(t)/dt = –σaϕ(t)Na(t) = – σа ϕ(0)(1+ gt/T)Na(t).	(П2.12)
После решения получаем:
Na(t)/Na(0) = ехр{–σа ϕ(0)t[1 + gt/2T]}.	(П2.13)

Зависимость Na(t)/Na(0) позволяет вычислить рост реактивности

из-за уменьшения количества ядер поглотителя:
ρ+(t) = ρВ[1 – Na(t)/Na(0)] =
= ρВ{1 – ехр{–σа ϕ(0)t[1 + gt/2T]}}.	(П2.14)

Изменение реактивности во времени реактора с выгорающим поглотителем складывается из положительной реактивности, появляющейся в результате выгорания поглотителя (П2.3); (П2.10); (П2.14) и потери реактивности из-за выгорания топлива ρ–(t). Потерю реактивности можно считать линейно изменяющейся во времени:

ρ–(t) = – ρвыг t/Т,

(П2.15)

где ρвыг – потеря реактивности за время кампании реактора длительностью Т.

Изменение во времени реактивности реактора запишем в виде:

ρ( t) = ρ+( t ) + ρ–(t) = ρВ[1 – Na(t)/Na(0)] – ρвыг t/Т .

(П2.16)

Для саморегулирования реактора желательно, чтобы изменение реактивности ρ(t) имело минимальное отклонение от нулевого значения. Форма данной зависимости определяется характеристиками реактора и выгорающего поглотителя. Найдем условия, при которых отклонения реактивности будут минимальными.

292

Если плотность потока нейтронов не зависит от времени, то

Na(t)/Na(0) = ехр(–σаϕоt), то зависимость реактивности	от време-
ни можно записать в виде (см. (П2.4)):
ρ(t)/ρвыг = (ρВ/ρвыг)[1 – ехр(–sаφt)] – t/T.	(П2.17)

Зависимость ρ(t) проходит через максимум при t = t*. Значение t* находим, приравняв нулю производную уравнения (П2.17):

t* = [ln(ρBσaφТ/ρвыг)]/σaφ.

(П2.18)

Следовательно, максимум функции (П2.17) возможен на вре-

менном интервале 0 – Т, если ρBσaφТ/ρвыг > 1 и если σaφТ > > ln(ρBσaφТ/ρвыг)]. При этих условиях максимальное значение реактивности будет при t = t*:

ρ(t*) = ρB [1 – ρвыг /ρBσaφТ ] – ρвыг[ln(ρBσaφТ/ρвыг)]/σaφТ, (П2.19)

а значение реактивности в конце кампании составит:
ρ(Т) = ρB[1 – ехр(– σаφТ)] – ρвыг.	(П2.20)

Рассмотрим два предельных случая временного поведения функции ρ(t).

В первом случае предположим, что произведение σаφТ не превышает 0,1. Это означает, что либо спектр нейтронов достаточно жесткий, либо выбран поглотитель с малым сечением поглощения нейтронов в тепловой области, либо низкое значение плотности потока нейтронов. Таким условиям удовлетворяет средняя плотность потока нейтронов около 2·1013 нейтр./см2 с, время нахождения топлива в реакторе Т = 3 года ≈ 108 с и сечение поглощения σа не более 50 барн.

В таком случае с достаточной точностью уравнение (П2.17)

можно записать в виде:
ρ(t) = ρВσаφ t – ρвыгt/T = ρВ σаφt (1 – ρвыг /ρBσаφТ).	(П2.21)

Легко видеть, что идеальный случай, когда реактивность практически не изменяется во времени, реализуется при ρвыг = ρBσаφТ. Это, в частности, означает, что запас реактивности, скомпенсированный введенным поглотителем, должен существенно превышать необходимый запас реактивности для компенсации выгорания топлива в реакторе. Действительно, уравнение (П2.21) реализуется при σаφТ ≈ 0,1. Следовательно, что надо создать запас реактивности примерно в 10 раз больше, чем это необходимо для компенсации потери реактивности из-за выгорания топлива и накопления осколков деления.

293

Отметим также, что в рассматриваемом случае в течение кампании реактора выгорает незначительная часть поглотителя (на уровне σаφТ). На первый взгляд такое решение невозможно использовать на практике. Однако, если потеря реактивности за кампанию реактора мала, то использование рассматриваемого варианта компенсации изменений реактивности может оказаться целесообразной, если поставлена цель саморегулирования реактора за счет выгорания поглощающих нейтроны ядер.

Если σаφТ > 1, то за время кампании Т происходит существенное выгорание ядер поглотителя. Обратим внимание на то, что при заданном σаφТ > 1 значения ρ(t*) и ρ(Т) оказываются зависимы-

ми от соотношения ρвыг /ρB.

Для того чтобы отклонения реактивности от нулевого значения во временном интервале 0 – Т были минимальными, следует потребовать, чтобы положительный выбег реактивности ρ(t*) по абсолютному значению был равен реактивности в конце кампании, т.е. |ρ(t*)| = |ρ(Т)|. Указанное равенство может иметь место только при определенных значениях отношений ρB/ρвыг и σаφТ, которые можно найти из уравнения:

2Z – 1/Y = 1 + Zexp(–Y) + (1/Y)lnZY,

(П2.22)

где Z = ρB/ρвыг и Y = σаφТ.

На рис. П2.1 показана зависимость Z от Y, соединяющая такие значения Z и Y, при которых реализуется минимальное отклонение реактивности от нулевого значения, т.е. когда выполняется равенство |ρ(t*)| = |ρ(Т)|. Существуют два решения, удовлетворяющие равенство (П2.22). Решение 1 приемлемо в том случае, когда максимум функции (П2.3) расположен на временном интервале 0 – Т, т.е. когда ZY > 1. Решение 2 справедливо для случаев, когда ZY < 1, т.е. когда максимум расположен в несуществующей на практике области, т.е. при t < 0.

В табл. П2.1 приведены максимальные отклонения реактивности от нулевого значения при заданном Y = σаФТ и соответствующем (найденном по уравнению (4.8)) оптимальному значению Z (при условии ZY > 1).

294

102
101
выг
/ρ
B
Z = ρ
100
				1
		2
10-1	10-1	100	101	102
10-2
		Y = σаφТ

Рис. П2.1. Зависимость отношения скомпенсированной поглотителем реактивности к потере реактивности за кампанию (Z = ρB/ρвыг)

от показателя глубины выгорания поглотителя (Y = sаФТ) при условиях

ρ(t*) = – ρ(T):

1 – при максимуме расположенном во временном интервале 0 – Т; 2 – при максимуме расположенном при t < 0

Таблица П2.1

Y = sаφТ	±[ρ(t)/ρвыг](макс)	Z(оптимал) = ρВ/ρвыг
0,01	± 0,005	100,00
		20,00
0,05	± 0,006
		10,00
0,10	± 0,020
		2,40
0,50	± 0,040
		1,50
1,00	± 0,080
		1,00
2,00	± 0,120
		0,64
10,00	± 0,320
		0,59
20,00	± 0,410

295

Оказывается, что при неблокированном выгорающем поглотителе минимальные отклонения от нулевого значения реактивности существенно зависят от выбираемого выгорающего поглотителя в данном реакторе (Y = σаφТ). Положительный (и отрицательный) выбеги реактивности могут быть на уровне 10 % от запаса реактивности при оптимальном выборе значений в соответствии с уравнением (П2.8).

Из рис. П2.2 видно, что реактивность в течение времени меняет свой знак, причем максимальное значения реактивности достигается примерно через 40 % времени работы реактора Т, и затем реактивность спадает, переходя через нулевое значение при 0,8Т. Такой характер зависимости реактивности от времени позволяет организовать в определенных пределах саморегулирование реактора по мощности.

Рис. П2.2. Зависимости ρ(t)/ρвыг от времени работы реактора t/T при различных значениях Y = sаφТ и требовании ρ(t*) = –ρ(Т). Кривая 1 получена

при Y = sаφТ=1 и Z = ρB/ρвыг =1,5; кривая 2 – при Y = sаφТ= 0,5 и Z = ρB/ρвыг = 2,4.

Значения sаφТ безразмерные и приведенные значения получены в предположении, что сечения и площади измерены в см2, а время – в секундах

Проведенный анализ поведения зависимости реактивности от времени в реакторе с выгорающим поглотителем показал возможность выбора для данного реактора выгорающего поглотителя и

296

может быть использован аналогичным путем при аналитически заданной функции Na(t)/Na(0).

Гетерогенные выгорающие поглотители. Временное поведе-

ние реактивности при использовании гомогенного выгорающего поглотителя обязательно приводят к появлению выбега положительной реактивности.

Другое временное поведение будут, если использовать блокированные гетерогенные выгорающие поглотители.

В качестве примера рассмотрим реактор с большой утечкой нейтронов или, другими словами, с большим вкладом отражателя в реактивность. В начале эксплуатации на границе активной зоны и отражателя помещен тонкий слой поглотителя. Этот слой поглотителя по мере работы реактора будет выгорать, и увеличивать реактивность не только за счет исчезновения поглощающих ядер, но и за счет введение в действие отражателя нейтронов.

Были проведены два расчета. В одном из них критичность достигалась за счет гомогенного размещения борного поглотителя в активной зоне. Во втором – критичность реактора достигалась за счет размещения «черного» слоя поглотителя на границе активной зоны. Без поглотителя реактор имел запас реактивности на выгорание. На рис. П2.3 приведены результаты расчета. По вертикальной оси отложены значения kэфф, которые характеризуют высвобождение реактивности по мере выгорания топлива. По горизонтальной оси – количество разделившихся ядер. В первом случае мы наблюдаем типичную для гомогенного расположения зависимость высвобождаемой реактивности из-за выгорания поглотителя в соответствии с формулой (П2.2). В связи с линейной во времени потере реактивности суммарная реактивность будет проходить через максимум. Во втором случае мы наблюдаем практически линейную зависимость во времени реактивности, освобождаемой при выгорании поглотителя, расположенного на границе активной зоны. Естественно, что суммарная реактивность будет иметь меньшие отклонения от нулевого значения.

Поиск оптимального гетерогенного выгорающего поглотителя, для которого будет реализовываться линейная временная зависимость высвобождения положительной реактивности, потребует варьировать не только выгорающие поглотители, но и их расположение в активной зоне реактора.

297

Рис. П2.3. Зависимость эффективного коэффициента размножения от количества разделившихся ядер в реакторе для двух вариантов расположения выгорающего поглотителя:

○○○ – выгорающий поглотитель равномерно распределен по активной зоне реактора; ●●● – выгорающий поглотитель расположен на границе между активной зоной и отражателем

Компенсатор на основе ядерных и химических реакций.

Сравнительно недавно* рассмотрен пассивный способ компенсации потери реактивности, использующий взаимодействия гамма и нейтронного излучения с веществом, в результате которых появляются газообразные продукты. Выход газообразных продуктов пропорционален количеству делений в реакторе и может создавать в замкнутом объеме давление, которое способно выводить из реактора поглощающие материалы и вводить в реактор положительную реактивность. В тоже время потеря реактивности также пропорциональна выгоранию топлива и, следовательно, пропорциональна количеству делений и количеству других реакций. Таким образом, возможна непрерывная компенсация потери реактивности, когда и потеря реактивности и появление положительной реактивности пропорциональны глубине выгорания (или энерговыработке).

* Патент на изобретение «Пассивный способ компенсации потери реактивности в реакторе» №23374118, приоритет 22.11.06.

298

Известны ядерные реакции под действием нейтронов, в результате которых образуются газообразные продукты. Наиболее эффективными являются реакции деления ядер, при которой выделяется около 10% стабильных и долгоживущих изотопов благородных газов (ксенон и криптон), реакция 10В(N, α), реакция 6Li(N,t). По ряду причин наиболее перспективными являются делящиеся материалы главным образом потому, что благородные тяжелые газы химически индифферентны и не обладают высокими коэффициентами диффузии (как водород, гелий и тритий).

Для реактора с достаточно мягким спектром нейтронов сечение деления для 235U составляет около 30 барн. В потоке нейтронов 1013 нейтр./см2 каждый грамм 235U будет поставлять в течение года около 5 см3 благородных газов. Такой ядерный газогенератор может вполне содержать около 100 г делящегося нуклида и поставлять пол-литра благородных газов в год или около 3 г. Такого количества газа вполне достаточно, чтобы создать давление для перемещения поглотителя.

Существуют химические соединения, которые под действием гамма-излучения претерпевают изменения с выделением газообразных продуктов. К таким веществам, например, относится полимеры поликарбонатного класса. Под действием излучения (поглощения энергии) происходит перестройка исходного полимера в полимер с меньшей молекулярной массой и с выделением газообразного продукта (окислы углерода в основном). Газовыделение при мощности гамма-излучения, создающего поглощение энергии в 1 Дж/(кг·с), составит около 1,5 г в год из одного килограмма облучаемого полимера.

Приведенные грубые оценки показывают, что идея объемной компенсации потери реактивности может иметь практическое вопплощение.

299

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Монографии

1.Кипин Дж. Физические основы кинетики ядерных реакторов. /Пер.

сангл. М.: Атомиздат, 1961.

2.Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов./ Пер. с англ. М.: Атомиз-

дат, 1975.

3.Колесов В.Ф., Леппик П.А., Павлови С.П. др. Динамика ядерных реакторов/Под. ред. Я.В. Шевелева. М: Энергоатомиздат, 1990.

4.Канальный ядерный энергетический реактор РБМК/Под общей редакцией Ю.М. Черкашова. М.: ГУП НИКИЭТ, 2006.

5.Афров А.М. и др. ВВЭР: физические основы эксплуатации, ядерное топливо, безопасность. М.: Логос, 2006.

6.Андрушечко С.А. и др. АЭС с реактором типа ВВЭР-1000. М.: Ло-

гос, 2010.

Учебники и учебные пособия

7.Владимиров В.И. Практические задачи по эксплуатации ядерных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981.

8.Саркисов А.А., Пучков В.Н. «Физика переходных процессов в ядерных реакторах». М.: Энергоатомиздат, 1983.

9.Усынин Г.Б., Кусмарцев Е.В., Реакторы на быстрых нейтронах. Учебное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1985.

10.Климов А.Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. М.: Энергоатомиздат, 1985.

11.Дементьев В.А. Кинетика и регулирование ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1986.

12.Казанский Ю.А., Матусевич Е.С. Экспериментальная физика реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1994.

13.Украинцев В.Ф. Эффекты реактивности в энергетических реакторов. Обнинск: ИАТЭ, 2000.

Сайты Интернета

14. http://www.roseNerGoatom.ru; http://atomas.ru; http://ru.wikipedia.orG; www.iate.obNiNsk.ru; www.ssL.obNiNsk.ru

300