Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

где γ0 – плотность при начальном давлении Р0, γ – при давлении Р. Производная радиуса по давлению с учетом (3.48)

∂R/∂P = ∂ [R0(γ0/γ)1/3]/ ∂P = –[R0(γ0)1/3/3γ4/3] ∂γ/∂P. (3.49)

В соответствии с (3.45) ∂γ/∂P = γХ. Принимая во внимание (3.49), находим ∂R/∂P = –RX/3 и в соответствии с (3.47) определяем

∂B/∂P = BX/3. (3.50)

Аналогично находим ∂M/∂P. Поскольку площадь миграции М 2 обратно пропорциональна квадрату макроскопических сечений, то можно записать, что М = сonst/Σ = сonst/σγ(P), производная которой ∂M/∂P = –[сonst/σγ2(P)]dγ/dP. Используем равенство ∂γ/∂P = γР и окончательно находим

	∂M/∂P = –МХ.	(3.51)
После подстановки (3.50) и (3.51) в (3.46) находим:
∂ρ/ ∂P = −2	(−M 2 B2 X + M 2 B2 X / 3) / k∞ =	(3.52)

= 4M 2 B2 X / 3k∞ .

Значения М 2В2(Р) зависят от давления и связано с реактивностью ρ(Р). Используя (3.5), можно записать эту связь в виде:

M 2 B2 / k∞ =1 −1 / k∞ −ρ(P) .

Подставим это соотношение в (3.52) и получаем окончательно

∂ρ/∂P = 4[ρ∞ −ρ(P)]X/3 ≈ 4ρ∞ Χ/3,

(3.53)

где принято во внимание, что изменения реактивности за счет внешнего давления, как правило малы.

Оказывается, что приращение реактивности, нормированное на единицу давления, пропорционально коэффициенту сжимаемости и значению реактивности для данного состава при бесконечно больших размерах размножающей среды. Такая простая формула получена в предположениях, что коэффициент сжимаемости не зависит от давления, а также что ρ(Р) << ρ∞. Для того чтобы в сфере из урана или плутония увеличить реактивность на один процент, необходимо увеличить давление до 15 тыс. атмосфер, если ρ∞= 0,5 (для урана X = 10-6 1/атм).

В случае сферы, содержащей гомогенную смесь воды и урановых растворимых химических соединений, для увеличения реактивности на один процент потребуется рост давления до пятисот атмосфер, если ρ∞ = 0,5 (для воды X = 3 10-5 1/атм).

151

В энергетических гетерогенных реакторах типа ВВЭР давление внутри корпуса реактора достигает 160 бар. Давление такого порядка не приводит к сколь нибудь заметным изменениям плотности топлива и конструкционных материалов. Но изменение плотности воды необходимо принимать во внимание: в исходном («холодном») состоянии при 293 К и отсутствии избыточного давления плотность воды составляет 1 г/см3, а после разогрева и роста давления до номинального значения плотность уменьшается до 0,7 г/см3. В «холодном» состоянии, когда в теплоносителе реактора ВВЭР-1000 максимальная концентрация борной кислоты (1,62 г бора на 1 кг воды), значения БКР оказывается отрицательным и равным –0,042 k·см3/(k·г). Знак БКР изменяется на положительный после снижения концентрации борной кислоты. В частности, при нулевой концентрации борной кислоты в теплоносителе БКР достигает своего максимально значения, равного +0,3 k·см3/(k·г).

Дадим краткое качественное объяснение наблюдаемой зависимости БКР от концентрации борной кислоты и от водо-уранового отношения для водо-водяного реактора в рамках формулы четырех сомножителей.

В п. 3.2.4 рассматривалось влияние гетерогенности на температурные коэффициенты реактивности. Обратимся к графикам на рис. 3.7. Как уже отмечалось, при росте давления в гетерогенном реакторе будет увеличиваться плотность воды, и оставаться неизменными плотности топлива и конструкционных материалов. Следовательно, будет расти водо-урановое отношение. Изменение реактивности будет зависеть от того, каково в данном случае водоурановое отношение, ω. Если его значение лежит правее максимума ω0 зависимости эффективного коэффициента размножения от водо-уранового отношения, т.е. ω > ω0, то значения БКР будут отрицательными. Если же ω < ω0, то значения БКР будут положительными – рост водо-уранового отношения приведет к росту kэфф.

Простейшее качественное объяснение зависимости значений БКР от концентрации борной кислоты состоит в следующем. Для реакторов типа ВВЭР выбирают водо-урановое отношение, которое меньше ω0 (значение водо-уранового отношения, при котором наблюдается наибольшее значение kэфф). В этом случае рост температуры будет приводить к уменьшению плотности воды и, следовательно, к уменьшению водо-уранового отношения, и, следователь-

152

но, к уменьшению kэфф. При этом БКР будет положительным: рост давления, рост водо-уранового отношения и положительный эффект реактивности.

Если в теплоноситель реактора введен поглотитель нейтронов, то максимум в зависимости kэфф(ω) сдвигается в область меньших значений водо-уранового отношения. Это связано хотя бы с тем, что добавление борной кислоты увеличивает макроскопическое сечение поглощение теплоносителя и, следовательно, уменьшает значения коэффициента θ. Поэтому при увеличении концентрации бора в теплоносителе выбранное первоначально водо-урановое отношение может оказаться больше нового значения ω0 (положение которого зависит от концентрации борной кислоты). Это приведет к тому, что БКР окажется отрицательным, а коэффициент реактивности по температуре теплоносителя будет положительным.

3.4. Мощностной коэффициент реактивности Особенности мощностного коэффициента реактивности и его определение

В отличие от ТКР, когда он определяется, как частная производная зависимости реактивности от температуры, т.е. в предположении неизменности остальных параметров реактора, мощностной коэффициент реактивности (МКР) таким образом определить нельзя. Если определить МКР при условии неизменности остальных параметров, то он будет нулевым. Таким образом, МКР реализуется через те изменения параметров реактора, которые зависят от мощности.

Представим реактивность ρ как функцию мощности w, приняв во внимание, что мощность не оказывает непосредственного влияния на реактивность. Однако мощность влияет на ρ через набор технологических параметров, например: температуру топлива, теплоносителя, замедлителя, давление и т.д. Обозначим эти параметры через pi, т.е. pi = fi(w), и пусть ρ = F(p1, p2, …, pn).

Определим мощностной коэффициент как αw = dρ/dw при t→∞, т.е. в установившемся режиме.

По правилам дифференцирования неявной функции нескольких переменных:

153

или

где αрi ру pi.

dρ

=

∂ρ

dp1

+

∂ρ

dp2

+...+

∂ρ

dpn

,

(3.54)

dw

dw

dw

dw

∂p

∂p

2

∂p

n

1

α

w

= α

p1

dp1

+ α

p2

dp2

+...+α

pn

dpn

.

dw

dw

dw

– коэффициент реактивности по технологическому парамет-

При данном определении МКР есть сумма многих коэффициентов реактивности, взятых с определенными весовыми множителями dpi/dw. Явный вид производных dpi/dt будут получены при анализе уравнений динамики в главе 5.

Сделанное определение позволяет сформулировать экспериментальное определение αw. В реактор вводится реактив-

ность ρ0 и проводится мониторивание мощности.	Запишем
баланс реактивности в функции времени:
ρ(t) = ρ0 + αw[w(t) – w(0)].	(3.55)

Если введена положительная реактивность, то мощность начнет расти и разность [w(t) – w(0)] будет положительной и увеличиваться во времени. Если при этом αw < 0, то через какое-то время реактивность станет нулевой, и мощность застабилизируется на новом

уровне, т.е. произойдет приращение мощности	w. Откуда следует
αw = ρ0/| w| .	(3.56)

Ясно, что определение мощностного коэффициента реактивности в качестве асимптотической по времени величине однозначно требует, чтобы αw < 0. В противном случае не будет установившегося режима и не будет возможности определить значение αw. Заметим, что среди αрi могут быть и положительные коэффициенты реактивности, но при соблюдении αw<0.

В качестве примера на рис. 3.8. показана зависимость мощности реактора после введения положительной реактивности.

Амплитуды колебаний мощности перед достижением равновесного состояния, как будет показано в гл. 5, зависят от теплоемкостей топлива и теплоносителя (замедлителя), от уровня мощности реактора, от значения реактивности и скорости ее введения. Заметим, что при стремлении теплоемкости к малым значениям колебания мощности практически исчезают.

154

Q, Вт

1,25E+06

1,20E+06

1,15E+06

1,10E+06

1,05E+06

1,00E+06

0

200

400

600

800

1000

Времяtau, c, с

Рис. 3.8. Зависимость мощности реактора от времени после введения положительной реактивности

Определение МКР по (3.54) и (3.55) не является общепринятым и не всегда определяется указанным выше способом. Например, в некоторых работах полагают, что МКР не включает эффекты реактивности, связанные с изменением подогрева теплоносителя и изменениями входной температуры теплоносителя первого контура. В некоторых работах полагают, что МКР – это температурный коэффициент реактивности по температуре топлива и т.п.

Контрольные вопросы

1.Перечислите основные физические процессы, возникающие при росте температуры, которые оказывают влияние на реактивность.

2.Оцените составляющую температурного эффекта реактивности, связанную с утечкой нейтронов, для реакторов разного типа, используя

данные о k∞, температурных коэффициентах линейного расширения и о зависимости сечения поглощения от температуры (энергии) в тепловой области (формулы 3.11 и 3.18).

3. Оцените изменения k∞, обусловленного температурным смещением средней энергии термализованных нейтронов, используя приведенные на рис. 3.2 и 3.3 зависимости отношений сечений от температуры. Состав активных зон реакторов: объем топлива вдвое меньше объема воды; плотность топлива – 10 г/см3; состав топлива: а) уран с содержанием 235U 4 %; б) смешанное уран-плутониевое топливо 93 % 238U и 7 % 239Pu. Оценки провести в предположении гомогенной смеси материалов.

155

4.В каком случае (и почему) доплеровская составляющая температурного коэффициента реактивности будет больше: а) реактор представляет собой гетерогенную структуру (топливо расположено в виде блоков внутри замедлителя); б) реактор представляет собой гомогенную смесь топлива и замедлителя.

5.Сферу из металлического плутония с размерами такими, что kэфф при бесконечном водяном отражателе равно 0,995, опускают в воду океа-

на. На какой глубине эта сфера окажется критической, если k∞ = 2,7 и если изменение плотности воды не влияет на эффективный коэффициент размножения?

156

Глава 4. ЭФФЕКТЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РЕАКТИВНОСТИ РЕАКТОРОВ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

4.1. Вводные замечания

Реальные энергетические реакторы по своей конструкции являются гетерогенными, поскольку в них, как минимум, топливо и теплоноситель (замедлитель) разделены. Топливо изолировано в металлических герметичных трубках, которые называются тепловыделяющими элементами (принятое сокращение – твэлы).

Пучки твэлов собирают в специальных шестигранных кассетах, которые называют тепловыделяющими сборками (ТВС). Такая конфигурация ТВС реализована для водо-водяных реакторов (ВВЭР) и реакторов на быстрых нейтронах (БН). Используются и четырехгранные кассеты в водо-водяных зарубежных реакторах. В канальных графитовых реакторах (РБМК) твэлы размещены в цилиндрических ТВС, которые размещают в технологических каналах. В ВВЭР и БН ТВС находятся в среде теплоносителя, который под действием насосов циркулирует в зазорах между твэлами

истенками ТВС. В РБМК технологические каналы размещены внутри графитового замедлителя, а теплоноситель проходит внутри ТВС в зазорах между твэлами.

Всвязи с гетерогенным расположением различных материалов

ииз-за того, что температурные коэффициенты линейного расширения материалов имеют различные значения, при росте или снижении температуры происходит изменение состава реактора. Поясним это утверждение. Топливо в виде двуокиси находится в металлических чехлах. Температурный коэффициент линейного расшиения металла заметно превышает коэффициент линейного расширения для двуокиси. Поэтому при росте температуры металлическая оболочка будет частично «удаляться» из объема, занятого топливом, т.е. в активной зоне будет меньшее количество металла. Рост температуры теплоносителя приводит к уменьшению его плотности, что сокращает долю теплоносителя в реакторе. Отметим еще одно следствие изменения состава активной зоны – это изменение сечения разбавления, которое влияет на средние сечения резонансного поглощения нейтронов, что будет изменять значения доплер-эффекта.

157

Изменение состава активной зоны при росте или уменьшении температуры – это одно из основных отличий ТКР реального гетерогенного реактора от гомогенного (идеализированного), состав которого не зависит от температуры.

Отметим вторую (важную для описания коэффициентов реактивности при работе реактора на мощности) особенность гетерогенного реактора. В реакторе с гетерогенным расположением топлива при работе на мощности устанавливается неравномерное температурное поле. Даже в пределах одного твэла температура изменяется, например, для реактора ВВЭР-440 от 1940 °С в центре до 350 °С на внешней поверхности тепловыделяющего элемента. И форма температурного поля зависит от уровня мощности реактора.

Наконец, гетерогенное расположение материалов в реакторе приводит к появлению ряда эффектов, влияющих на реактивность, которые в большей части тесно связаны между собой. Эти эффекты в каждом типе реактора проявляются по-особому и зависят от конструкции реактора. Например, в реакторе на быстрых нейтронах БН-600 можно изменить расход теплоносителя, что приведет, вопервых, к небольшому смещению ТВС в активной зоне (верхние части ТВС не имеют жесткой фиксации) и, следовательно, к механическому изменению размеров активной зоны реактора. Поэтому появится эффект реактивности. Затем начнет расти температура топлива и теплоносителя, если расход теплоносителя был уменьшен. В результате начнет появляться эффект реактивности, обусловленный температурой, будет изменяться мощность и т.д.

Еще пример. В реакторах БН при изменении температуры происходят незначительные смещения поглощающих стержней относительно активной зоны, что связано с различными коэффициентами линейного расширения разнообразных сталей, используемых в конструкции реактора. Таким образом, появляется еще своего рода «механические» составляющие температурного эффекта реактивности для гетерогенного реактора.

Можно рассмотреть много подобных цепочек событий, которые будут иметь различные начальные «возбудители» (кроме изменения оборотов насосов, могут быть изменены мощность, температура теплоносителя на входе в реактор, нагрузка на турбогенератор и др.) и развитие которых во времени будут определяться конкрет-

158

ными нейтронно-физическими и теплотехническими параметрами реактора в рассматриваемых состояниях.

Один из способов достаточно уверенного моделирования всего многообразия временных поведений реактора состоит в использовании конечного набора коэффициентов реактивности.

К рассмотренным в предыдущей главе коэффициентам реактивности для каждого типа реактора добавляются свойственные данному реактору эффекты (или коэффициенты) реактивности. Очень важные для анализа пустотные эффекты реактивности, которые позволяют сделать оценку последствий потери теплоносителя (например, натриевый пустотный эффект реактивности в реакторах на быстрых нейтронах, паровой эффект реактивности и эффекты реактивности при обезвоживании каналов с поглотителями в реакторах РБМК).

4.2. Запас реактивности и его компенсация

Уже отмечалось, что для устойчивой работы реактора необходимо, чтобы были отрицательные обратные связи. Это значит, что, например, при росте температуры и мощности реактора должна появляться отрицательная реактивность, которая приведет к торможению скорости роста мощности и, в конце концов, стабилизации мощности на новом уровне. Другими словами при отрицательных обратных связях происходит саморегулирование мощности. В последующем будет ясно, что саморегулирование реактора ограничено, т.е. реализуется не при любых возмущениях характеристик реактора. Наличие отрицательных обратных связей – это одно из обязательных требования ядерной безопасности . В про-

Для устойчивой работы реакторов необходимы отрицательные обратные связи при изменениях технологических параметров реактора. Вполне логичен вопрос: насколько велики, должны быть отрицательные связи? Заметим, что очень «сильные» обратные связи могут создать много проблем. Во-первых, нужен будет большой запас реактивности. Во-вторых, при аварийном сбросе мощности или аварийном расхолаживании реактора будет появляться большая положительная реактивность. Поэтому потребуется система аварийной защиты, эффективность которой будет достаточна для нейтрализации этой быстро вводимой положительной реактивности при быстром сбросе мощности реактора

159

тивном случае атомные электростанции с реакторами были бы чрезвычайно опасными.

Обратные отрицательные связи по температуре и мощности, а также потеря реактивности при выгорании топлива* требуют, чтобы реактор имел некоторый запас реактивности. Запас реактивности – это избыточная положительная реактивность реактора после загрузки топлива в активную зону реактора, которая компенсируется введенными в активную зону поглотителями. Требуемые запасы реактивности для ВВЭР оказываются весьма значительными (20 % и более). Для реакторов на быстрых нейтронах требуемый запас реактивности в 2–3 раза меньше. Еще меньший запас реактивности требуется для реакторов канального типа (РБМК), в которых реализуется непрерывная перегрузка топлива на номинальном уровне мощности.

Реализовать запас реактивности можно следующим образом. В реактор при нормальных условиях (нормальная температура, нулевая мощность) загружается топливо либо в большем количестве, чем это необходимо для достижения критичности в начальных условиях, либо с более высоким обогащением (содержанием делящихся нуклидов). Но тогда в реактор, чтобы он был критичен, а не надкритичен в начальном состоянии, надо поместить поглотители, которые можно будет извлекать из реактора по мере роста мощности и температуры, и по мере выгорания топлива, чтобы поддерживать реактор в критическом или близком к критическому состоянию.

Из приведенных соображений следует, что для компенсации избыточной реактивности требуется введение поглотителей, которые должны быть готовы компенсировать потерю реактивности как в быстрых процессах (разогрев реактора, вывод реактора на номинальный уровень мощности, вариации мощности и т.п.), так и в медленных процессах, обусловленных, например, потерей реактивности в процессе выгорания топлива.

Компенсацию избыточной реактивности в реакторах осуществляют разными способами.

Система компенсирующих стержней. Один из самых распро-

страненных способов, используемых в энергетических реакторах, –

* Потеря реактивности при работе реактора рассматривалась в гл. 2.

160