гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

265

инерции к силам трения можно представить в виде

u

∂ u

:

1

∂ 2u

.

∂

ξ

Re ∂ η

2

Л.Прандтль предположил, что в пограничном слое отношение сил инер-

ции к силам трения есть величина порядка 1, то есть

Re

~

1

.

(14.9)

δ 2

Соотношение (14.9) позволяет дать оценку толщины пограничного слоя

в виде

δ

~

1

.

(14.10)

Re

Рассмотрим следующий пример. Пусть характерный размер обтекае- мого тела L = 1м, характерная скорость потока V = 1м/с, а динамический

коэффициент вязкости µ = 10− 3		кг			(вода, 20ºС), плотность ρ = 103			кг	.
	м с
								м3
Тогда
Re =			ρ VL			=	106 ,
		µ
и в соответствии с формулой (14.10)
δ ~		1			=		10− 3 ,

Re

или δ ~ 1мм. В этом тонком слое и происходит изменение скорости vx от нуля до ее значения во внешнем течении.

Возникает вопрос о характере течения в пограничном слое при таких значениях числа Re. Как показывают наблюдения, течение вдоль пласти-

ны остается ламинарным при Re =

ρ VL

< (5 10

5

÷

10

6

) .

Пренебрегая в уравнениях (14.6), (14.7), (14.8) малыми членами и учи-

тывая при этом формулу (14.9), получаем

∂ u

+

u

∂

u

+ v

∂ u

= −

∂ p

+

1 ∂

2u

,

∂ t

∂

ξ

∂ η

∂ ξ

Re ∂

η 2

(14.11)

∂ p

∂ u

∂ v

= 0,

+

= 0.

∂ η

∂ η

∂ ξ

Уравнения (14.11) представляют собой уравнения Л.Прандтля для по- граничного слоя, записанные в безразмерном виде. Возвращаясь в уравне-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

266

ГЛАВА XIV

ниях (14.11) к размерным величинам, имеем

∂ vx

+ vx

∂ vx

+ vy

∂ vx

= −

1

∂ p

+

µ

∂ 2vx

ρ ∂ y2

,

∂ t

∂ x

∂ y

ρ ∂ x

(14.12)

∂ p

∂ vx

∂ vy

= 0,

+

= 0.

∂ y

∂ x

∂ y

Из этих уравнений видно, что давление в поперечном направлении по- граничного слоя можно считать постоянным и равным тому давлению, ко- торое существует на его внешней границе. Течение, внешнее по отноше- нию к пограничному слою, как уже указывалось, может быть описано с помощью модели идеальной жидкости.

Как было показано, на внешней границе пограничного слоя v ~ δ

или vy ~	V	δ .	Производная	∂ vx	из-за пренебрежения вязкостью во
	L			∂ y

внешнем сечении на этой границе также мала, и продольная скорость vx переходит в скорость внешнего течения U(x, t) . Поэтому на границе по- граничного слоя уравнение движения можно записать в виде

∂ U

+

U

∂ U

=

−

1

∂ p

.

(14.13)

ρ

∂ t

∂ x

∂ x

В случае установившегося движения из уравнения (14.13) имеем

p +

ρ

U2 =

const .

(14.14)

2

Граничные условия для внешнего течения благодаря малости толщи-

ны пограничного слоя и тому, что vy ~ VL δ , можно принять такими же,

как при непосредственном обтекании тела идеальной жидкостью. Иначе говоря, для расчета внешнего потока можно рассматривать обтекание тела идеальной жидкостью, пренебрегая при этом толщиной погранич- ного слоя.

Итак, система уравнений (14.12) сводится к

∂ vx

+ vx

∂ vx

+ vy

∂ vx

= −

1

∂ p

+

µ

∂ 2vx

ρ ∂ y2

,

∂ t

∂ x

∂ y

ρ ∂ x

(14.15)

∂ vx

∂

vy

+

=

0,

∂ x

∂

y

где p = p(x, t) следует рассматривать как известную функцию. В случае

установившегося движения оно может быть определено из равенства (14.14). Уравнения (14.15) называются уравнениями Прандтля для пограничного слоя.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	267
Граничные условия для системы уравнений (14.15) имеют вид
vx = vy = 0 при y = 0,	vx = U(x, t) при y → ∞ .

Последнее условие надо понимать в том смысле, что vx асимптотичес- ки стремится к функции U(x, t) , которая считается наперед заданной.

С помощью формулы (14.10) можно получить лишь оценку порядка величины толщины пограничного слоя. Так как в действительности грани- ца между пограничным слоем и внешним течением достаточно условна, то для ее уточнения используются различные критерии. Наиболее простым из них является условие того, что скорость на внешней границе пограничного слоя равна 99% от скорости внешнего течения.

§2. Задача Блазиуса

Для иллюстрации применения уравне- ний пограничного слоя (14.15) рассмотрим обтекание тонкой неподвижной пластинки (рис. 14.2). Начало координат совместим с началом пластинки, а ось Oх направим вдоль нее параллельно скорости набегаю- щего потока. Длину пластинки будем счи- тать бесконечной, а течение – стационар- ным. Скорость набегающего потока при-

мем равной U0 . Сформулированная таким

Рис. 14.2

образом задача называется задачей Блазиу- са.

Так как скорость внешнего течения по условию постоянна, то dxdp = 0 ,

и уравнения (14.15) принимают вид
u	∂ u		+	v	∂ u			= ν
	∂ x				∂ y
		∂ u		+		∂ v		=
		∂ x
						∂ y
где
u ≡ vx,				v ≡ vy,

∂2u

∂y2 ,

0,

ν =

(14.16)

ρ .

Граничные условия для уравнений (14.16) имеют вид
u = v = 0 при y = 0, u = U0 при y → ∞ .	(14.17)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

268

ГЛАВА XIV

Обратимся к построению решения задачи Блазиуса. Уравнения (14.16) и граничные условия (14.17) содержат систему определяющих параметров

x, y,ν ,U0 ,

из которых только два обладают независимыми размерностями. Следова- тельно, из этой системы можно составить две безразмерных комбинации, например,

y

,

y U0 .

x

ν x

Тогда искомые функции u(x, y), v( x, y)

можно представить через безраз-

мерные функции f

и Φ

как

ν U0

y

, y

U0

v =

Φ

y

U0

(14.18)

u = U0f

,

, y

.

x

ν x

x

x

ν x

Сделаем в уравнениях (14.16) и граничных условиях (14.17) замену

переменных

x = lx1,

y =

ν l y1,

u =

U0u1,

v =

ν U0 v1 ,

(14.19)

U0

l

где l – некоторый линейный размер.

Подставив соотношения (14.19) в уравнения (14.16) и граничные ус-

ловия (14.17), получим

u1

∂ u1

+

v1

∂ u1

=

∂

2u1

(14.20)

∂ y1

∂ y12

,

∂ x1

∂ u1

+

∂ v1

=

0,

(14.21)

∂ x1

∂ y1

u1 =

v1 =

0 при

y1 =

0,

u1

=

1

при

y1

→

∞ .

(14.22)

Из формул (14.19) следует, что

y

=

ν

y1 ,

y

U0 =

l y1

=

y1

v

x = v1

x = v1

,

,

x1

lU

x

x

0

x

ν x

x

ν U

0

l

1

1

и равенства (14.18) могут быть представлены в виде

u1 =

ν

y1 y1

v1 =

1

Φ

ν

y1

y1

f

lU

,

x

,

x

lU

,

x

.

x

x

0

1

1

1

0

1

1

В то же время уравнения (14.20), (14.21) и граничные условия (14.22) не содержат в себе длины l . Следовательно, решение этих уравнений не

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

269

может зависеть от l , то есть от аргумента

ν

, поэтому

lU0

y

1

y

u1 =

1

v1 =

Φ

1

,

f

,

x1

x1

x1

или

u1

= f(ξ ),

v1

=

1 Φ

(ξ ),

ξ

=

y1

=

y

U0

.

(14.23)

x

x

ν x

1

1

Из уравнения неразрывности (14.21) следует, что существует функция

тока ψ (x1, y1) , так что

∂ ψ

∂ ψ

u1 =

,

v1 = −

.

∂ y1

∂ x1

Положим

∂ ψ

f(ξ )

ϕ ′( ξ) =

y1

u1 =

∂ y

=

=

ϕ ′

x

.

(14.24)

1

1

Тогда

ψ = ∫ u1dy1 = ∫ϕ ′(ξ ) dy1 =

x1 ∫ϕ ′(ξ ) dξ =

x1ϕ (ξ ),

(14.25)

v

∂ ψ

= −

1

(

)

−

x

dϕ

dξ

=

1

[

′(

)

− ϕ

(

ξ

) ].

1 = −

∂ x

2 x ϕ ξ

1 dξ

dx

2 x

ξ ϕ

ξ

1

1

1

1

Подставив соотношения (14.24) и (14.25) в уравнение (14.20), получим

ϕ ′

dϕ ′

∂ ξ

+

1

(ξ ϕ

′ − ϕ

)

dϕ ′

∂ ξ

=

d

dϕ ′ ∂ ξ

∂ ξ

,

dξ

∂ x

dξ ∂ y

∂ y

2

x

dξ ∂ y dξ

1

1

1

1

1

или, после дифференцирования и приведения подобных членов,

2ϕ ′′′ −

ϕ ϕ ′′ =

0 .

(14.26)

Из граничных условий (14.22) и формул (14.24), (14.25) следует, что

граничные условия для уравнения (14.26) имеют вид

ϕ (0)

= 0,

ϕ ′( 0)

= 0,

ϕ (′ ∞)

=

1.

(14.27)

Таким образом, уравнения в частных производных (14.16) с гранич- ными условиями (14.17) свелись к обыкновенному нелинейному диффе- ренциальному уравнению (14.26) с краевыми условиями (14.27). Решение этой задачи может быть построено численно с высокой точностью, что и было сделано давно.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

270

ГЛАВА XIV

Из формул (14.19), (14.23), (14.24) и (14.25) следует, что

u

v

= 1

ν

U0

U0

=

ϕ ′ y

U0

y

U0 ϕ ′ y

−

ϕ

y

.(14.28)

,

U0

ν x

U0

2

U0 x

ν x

x

x

Графики распределения продольной и поперечной составляющих ско- рости в пограничном слое представлены на рис. 14.3 и 14.4, соответствен- но.

Рис. 14.3				Рис. 14.4
Принимая, что на внешней границе пограничного слоя					u	= 0,99 из
				U0
первой формулы (14.28) имеем
		U
0,99 = ϕ ′ y			0	.
		ν x
Тогда из таблицы функции ϕ ′(ξ )
	следует, что
y = δ ≈	5	ν x .
		U0

Подставляя это значение во вторую формулу (14.28) и используя таблицы функций ϕ (ξ ) , ϕ ′(ξ ) , получим на внешней границе погранично-

го слоя
	v	=	1	ν [5ϕ ′(5) − ϕ ( 5) ] ≈ 0,837	ν .
			2
U0				U0x	U0x

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

271

Полученное решение для распределения скоростей в пограничном слое позволяет вычислить напряжение трения τ 0 на пластине.

Действительно, при ламинарном течении

				∂ u
τ	0	=	µ		.
				∂ y y= 0

Подставив в это соотношение первую из формул (14.28), получаем

τ 0	= µ U0		∂				= µ U0	U0 ϕ ′′(0) .
				ϕ ′ y	U0
			∂ y		ν x			ν x
						y= 0

Обращаясь к таблице численных значений функции ϕ ′′(ξ ) , име-

емϕ ′′(0) = 0,332 , и

τ 0	= 0,332ρ ν U03 .	(14.29)
	x

Из формулы (14.29) следует, что сила трения W на одной стороне пластины, приходящаяся на единицу ее ширины, равна

x

W = ∫τ dx = 0 664ρ ν U3x .

0 , 0

0

§3. Отрыв пограничного слоя

В §8.2 было показано, что при стационарном обтекании окружности идеальной жидкостью скорость течения вдоль ее дуги сначала возрастает, а затем убывает. В соответствии с интегралом Бернулли давление при этом также сначала возрастает, а затем убывает. Аналогичное явление имеет ме- сто при обтекании любого выпуклого контура. Течение жидкости в диффу- зоре также происходит при положительном градиенте давления.

При течении идеальной жидкости ее кинетической энергии доста- точно для преодоления положительного градиента давления. В погра- ничном слое благодаря вязкости происходит замедление течения. По- этому кинетической энергии жидкости оказывается недостаточно для того, чтобы частицы продвинулись далеко в область повышенного дав- ления. В результате возникает возвратное течение и связанное с ним вихреобразование. Толщина пограничного слоя при этом резко возраста- ет, и условия, при которых были введены уравнения Прандтля, переста- ют выполняться.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

272

ГЛАВА XIV

Рассмотрим обтекание криволинейно-

го контура С и будем вдоль него отсчиты-

вать координату х (рис. 14.5). В соответст-

вии со сказанным существует точка М с ко-

ординатой

xM ,

такая, что

при x < xM

∂ p

<

0 , а при x > xM

∂ p

>

0.

∂ x

∂ x

Так как в точках контура С, то есть

Рис. 14.5

при y =

0,

vx =

vy=

0 , то в соответствии

с уравнениями (14.15)

∂ 2vx

=

∂ p

<

0

при

x <

xM,

∂ y2

∂ x

(14.30)

∂ 2vx

∂ p

=

>

0

при

x >

xM,

∂ y2

∂ x

и в точке М

∂

2vx

=

0 .

(14.31)

∂ y2

l(x)

Так как кривизна k кривой y =

равна

dl 2 −

3

k =

d2l

+

2

1

dx2

,

dx

то из неравенств (14.30) и формулы (14.31) следует, что в точке М кривизна эпюры скоростей vx = vx (x) меняет свой знак (рис. 14.5). Поэтому при x > xM возникает возвратное течение и, как следствие, –

	отрыв пограничного слоя.	∂ p
	Из приведенных рассуждений ясно, что если всюду в потоке		≤ 0 ,
		∂ x
	то отрыва пограничного слоя не происходит.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XV

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Рассмотрение одномерных течений позволяет изучить основные зако- номерности, присущие движению газов с большими скоростями. Одно- мерными течениями газа (жидкости) называются такие течения, характе- ристика которых (скорость v , плотность ρ , давление p , абсолютная тем- пература T ) зависят только от одной координаты и времени. Примером одномерного течения может служить течение по трубке тока, если ско- рость, плотность, давление и температура распределены равномерно по ее сечению. В этом случае

v = v(l, t), ρ = ρ ( l, t) , p = p( l, t) , T = T( l,)t ,

где l – координата, отсчитываемая вдоль оси трубки.

Для простоты и наглядности последующих выводов будем считать,

что газ совершенный, то есть его уравнение состояния имеет вид
	p	= RT .	(15.1)
	ρ

§1. Скорость звука

Скорость распространения звука в газе является одним из важнейших понятий газовой динамики. Для ее определения рассмотрим длинную цилиндрическую трубу, закрытую с одной стороны поршнем и запол-ненную газом (рис. 15.1). При этом предполагается, что в начальный момент времени газ в трубе покоится, а давление p0

и плотность ρ 0	во всех сечениях трубы	Рис. 15.1

одинаковы.

Приведем поршень в движение – начнем вдвигать его в трубу. Газ пе- ред поршнем начнет сжиматься и двигаться со скоростью v , а возникшее возмущение будет распространяться по трубе слева направо с некоторой скоростью с.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

274 ГЛАВА XV

Пусть это возмущение в момент времени t достигло сечения I – I, а в момент t + dt – сечения II – II. За время dt между указанными сече- ниями параметры течения газа меняются, то есть рассматриваемое течение будет неустановившимся. Для его изучения воспользуемся законом сохра- нения массы (2.29) и законом изменения количества движения (2.49).

В течение промежутка времени dt скорость, давление и плотность га- за в сечении I – I изменяются и достигают значений v1 , p1 и ρ 1 , а в сече- нии II – II скорость равна нулю, а давление и плотность постоянны – p0, ρ 0 (возмущение еще не успело дойти до этого сечения). Поэтому в мо- мент t + dt , то есть в конце рассматриваемого промежутка времени, уравнение (2.29) и уравнение (2.49) в проекции на ось трубы 0х запишутся в виде

		∫		∂ ρ	dV =		∫ ρ 1v1dS ,			(15.2)
				∂ t
		V					S1
∫	∂ (ρ v)		dV −			∫ ρ	2	= Ρ x	+ Tx ,	(15.3)
							1v1 dS
	∂ t
V						S1

где S1 – площадь поперечного сечения трубы. Проекция главного вектора

N нормальных составляющих реакций стенок трубы на ее ось, очевидно, равна нулю, а весом газа пренебрегаем.

Сила давления, действующая на объем газа между сечениями I–I и II– II в момент t + dt , равна

	Ρ x =	∫ ( p1 − p0) dS1 ,	(15.4)
		S1
а сила трения		= − τ ср χ c dt ,
	Tx		(15.5)
где τ ср	– среднее за время dt и на длине c dt напряжение трения на стенке
трубы,	χ – ее смоченный периметр. За время dt плотность газа на рас-
сматриваемом участке трубы меняется в пределах значений ρ 0			до ρ 1 , а ско-

рость – от нуля до v1 . Поэтому на интервале dt
	∂ ρ		∂ ρ				∂ (ρ v)
		dt ≈			dt = ρ 1	− ρ 0,		dt =
	∂ t						∂ t
			∂ t		ср

	∂ (ρ v)		= ρ 1v1 , (15.6)
	∂ t ср

где значок «ср» также означает среднее значение за время dt и по объе- му V .

Элемент объема dV можно представить в виде
dV = c dt dS.	(15.7)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts