гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

195

В тонком пристенном слое A << . Этот слой называется вязким подслоем, и толщина его имеет порядок 1% от поперечного размера кана- ла. Вне этого подслоя, в так называемом турбулентном ядре, A >> .

Полное, осредненное во времени касательное напряжение

p

xy

имеет,

очевидно, вид

xy = (µ + A)

du

.

(10.25)

p

dy

Для определения длины пути перемешивания Л.Прандтлем была пред-

ложена гипотеза, в соответствии с которой

v′ ~ l′

du

.

(10.26)

dy

Подставив соотношение (10.26) в равенство (10.24), получим

A = ρ l2

du

,

τ = ρ l2

du

du

,

(10.27)

dy

dy

dy

где знак модуля использован для того, чтобы подчеркнуть, что

A >

0 ,

а τ – знакопеременная величина. Коэффициент пропорциональности,

ко-

торый должен присутствовать в формуле (10.26), включен в величину l , которая также называется длиной пути перемешивания.

Теория, построенная на идее существования пути перемешивания, называется полуэмпирической теорией Л.Прандтля.

§5. Применение соображений теории размерностей к построению полуэмпирических теорий турбулентности

Л.Прандтль при построении своей теории исходил из естественного предположения, что турбулентная вязкость должна зависеть от плотности жидкости и закона распределения осредненной скорости u по сечению канала. Так как это распределение в первом приближении определяется

производной du , то dy

A =		ρ ,	du
	f				.	(10.28)
			dy

Поскольку размерности величин, входящих в выражение (10.28), имеют

вид

[A] =	M	, [ρ ] =	M	,	du			=	1		,
	LT		L3
					dy				T

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

196

ГЛАВА X

то система параметров, определяющих класс явлений, то есть ρ и du , не dy

обладает свойством полноты. Поэтому зависимость вида (10.28) физически невозможна. Добавив в число определяющих параметров некоторый ли- нейный размер l′, положим

				du
A =	f	ρ ,							, l′ .	(10.29)
				dy
								, l′ обладают независимыми раз-
Легко видеть, что параметры ρ		,	du
			dy

мерностями. Тогда в соответствии с Π -теоремой теории размерностей из функциональной зависимости (10.29) имеем

	du			β
A =	Cρ α			l′γ , C = const .
	dy

Выполняя необходимые вычисления, ход которых подробно изложен в гл. V, получаем

A = Cl′2 ρ

du

=

ρ l2

du

,

τ = A

du

=

ρ l2

du

du

, (10.30)

dy

dy

dy

dy

dy

что в точности совпадает с формулами (10.27).

Так как форма кривой

=

(y)

определяется не только первой про-

u

u

изводной, но и производными более высокого порядка, то предположим, что

d2

du

u

A =

ρ ,

f

,

dy

2

.

dy

d2

Параметры ρ ,

du

,

u

обладают независимыми размерностями. Поэто-

dy2

dy

му на основании Π

-теоремы можем записать

γ

du

β

d2

A = ëρ α

u

.

2

dy

dy

После соответствующих вычислений имеем

3

3

du

du

dy

dy

A =

κ 2 ρ

,

τ =

κ

2 ρ

du

,

(10.31)

2

2

2

2 dy

d

u

d

u

2

2

dy

dy

где κ = const – некоторая эмпирическая константа.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

197

Формулы (10.31) были получены иным, более сложным путем, немец- ким гидромехаником Т. фон Карманом в 1930 г.

Как было выше показано, формулы Прандтля (10.30) получены из рассмотрения двух точек в турбулентном потоке. Формулы Кармана (10.31) не содержат линейного размера и, следовательно, свободны от этого усло- вия.

Соотношения (10.30) и (10.31) представляют собой различные реоло- гические модели для турбулентного течения вязкой жидкости.

Заметим, что формулы (10.30) и (10.31) получены, исходя из предпо- ложения, что поле осредненных скоростей зависит только от одной, попе- речной по отношению к направлению потока, координаты. Поэтому они равно справедливы как для плоской, так и для круглой трубы (в предполо- жении осесимметричности течения).

§6. Логарифмический закон распределения скоростей

Рассмотрим, используя схему Прандтля, квазистационарное турбулент- ное течение по круглой цилиндрической трубе радиуса а. В этом случае

du = − du dy dr

(y отсчитывается от стенки трубы к ее оси), и в соответствии с формулами (10.25) и (10.27) полное касательное напряжение pxy равно

xy = − (µ + A)

du

du

du

= − µ +

ρ l2

.

p

dr

dr

dr

Так как в ядре потока A >>

,

то

примем, что

xy ≈ τ = − ρ l2

du

du

.

(10.32)

p

dr

dr

Будем для простоты считать тру-

бу горизонтальной и рассмотрим в

ней элемент радиуса r и длиной

L

(рис. 10.5). Так как движение устано-

вившееся, то сумма сил, действующих

Рис. 10.5

на выделенный элемент, равна нулю,

то есть

π r2 ( p1 − p2) − 2π rLτ = 0 ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

198

ГЛАВА X

откуда

τ =

p1 −

p2

r =

∆ p

r .

(10.33)

2L

2L

Тогда напряжение трения на стенке трубы τ a равно

τ a

=

∆ p

a,

(10.34)

2L

или, в соответствии с формулой Дарси–Вейсбаха (5.30),

τ a =

−

λρ

w

w.

(10.35)

8

Из равенств (10.33) и (10.34) имеем

τ

=

τ a

r

,

a

и формула (10.32) может быть представлена в виде

τ a

r

.

=

− l2

du

du

(10.36)

ρ

a

dr

dr

Соотношение (10.36) представляет собой дифференциальное уравне- ние для определения осредненной скорости u .

Очевидно, что длина пути перемешивания l у стенки трубы и на оси потока (из соображений осевой симметрии) должна обращаться в нуль. А.А. Саткевичем для ее определения была предложена формула

l =

κ

r (a − r) ,

(10.37)

a

где κ – эмпирическая константа.

Подставив равенство (10.37) в уравнение (10.36), получим

τ a =

2 (a − r) 2

− κ

du

du

.

(10.38)

ρ

dr

dr

Величина v =

τ a

имеет размерность скорости и называется динами-

ρ

ческой скоростью. Так как v

>

0 ,

du

< 0 , то из формулы (10.38) имеем

dr

τ a

− κ (a − r)

.

=

v

=

du

(10.39)

ρ

dr

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

199

Интегрируя соотношение (10.39) и учитывая при этом, что скорость u

достигает максимума на оси трубы, то есть при r =

0 , получим

=

max

+

1

ln

a − r

.

u

u

(10.40)

κ

v

v

a

Из формулы (10.40) видно, что при сделанных предположениях в тру- бе имеет место логарифмический закон распределения скоростей. Вблизи стенки при r → a u → −∞ , что физически лишено смысла. Этот резуль- тат объясняется тем, что при выводе формулы (10.40) мы пренебрегли ве- личиной молекулярной вязкости по сравнению с А, что для пристенного слоя неправомерно.

Обозначив a − r = y, представим равенство (10.40) в виде

=

max

+

1

ln

yν v

=

max

−

1

ln

av

1

ln

yv

1

ln

yv

u

u

u

+

= B +

, (10.41)

v

v

κ

aν v

v

κ

ν

κ

ν

κ

ν

µ

где ν

=

– кинематический коэффициент вязкости, а B = const для рас-

ρ

сматриваемого течения, то есть для течения по трубе заданного радиуса r

и с заданным градиентом давления ∆ p .

L

Учитывая малую толщину пристенного слоя, а также то, что при

x →

0 величина x ln x →

0 , из формулы (10.41) получим

1

a

(r) dr =

2

a

1

w

Q

yv

=

=

2π ru

r

B +

ln

dr

=

π a2v

π a2v ∫

a2 ∫

κ

ν

v

(10.42)

0

0

= B +

1

ln

av

−

3

κ .

κ

ν

2

где w – средняя скорость течения, Q – расход.

Из определения динамической скорости v

, равенства (10.34) и фор-

мулы Дарси–Вейсбаха (5.30) или непосредственно из формулы (10.35) имеем

v = τ a		=	λ w .
	ρ		8

Подставив соотношение (10.43) в формулу (10.42), получим

8		= B −	3 +		1 ln 1 Re λ ,
	λ
			2κ		κ		2	8
где число Рейнольдса определяется по формуле
		Re =		2aw		=	wd	,
							ν
				ν

d – диаметр трубы.

(10.43)

(10.44)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

200 ГЛАВА X

Из приведенного вывода следует, что закон распределения скорос- тей (10.41) позволяет получить формулу для определения коэффициента гидравлического сопротивления λ . По экспериментальным данным Нику-

радзе					B ≈		κ ≈
						5,5;			0,4 .
Подставляя эти значения в формулу (10.44) и переходя к десятичным
логарифмам, получим
			1		= 2,035 lg Re			λ	− 0,913 .
			λ
Более точно результаты эксперимента описываются формулой
	1		=	2 lg(Re		λ ) −	0,8	=	2 lg	Re λ	.
	λ
									2,51

Заметим особо, что при выводе формулы (10.44) не учитывалось влия- ние шероховатости стенок трубы. Таким образом, эта формула справедли- ва только для гладких труб.

Необходимо также заметить, что в настоящее время при выполнении технических расчетов для вычисления λ предпочтение отдается эмпири- ческим формулам, то есть формулам, полученным при обработке результа- тов экспериментов.

§7. Экспериментальные исследования коэффициента гидравлического сопротивления

Экспериментальным определением зависимости падения давления от расхода жидкости в трубах и каналах начали заниматься более 200 лет то- му назад. Почти каждый исследователь получал свой, отличный от других, закон сопротивления. Это было связано с тем, что в опытах различных ав- торов не соблюдался закон подобия, установленный О.Рейнольдсом в кон- це XIX века. Кроме того, не учитывалось, что в разных опытах стенки имели различную шероховатость.

Первые систематические опыты для выяснения зависимости коэффи- циента гидравлического сопротивления λ от Re и шероховатости стенок труб были проделаны Никурадзе в конце 20-х – начале 30-х годов XX века в Геттингенском университете. Опыты производились на гладких латун- ных трубах и трубах с искусственной равномерной шероховатостью. Такая шероховатость получалась путем наклейки на стенки трубы песчинок оп- ределенного размера, для чего песок предварительно просеивался через специальные сита. Размер зерен песка принимался за размер зерен шеро- ховатости ∆ .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ	201
Результаты опытов Никурадзе в координатах lg Re− lg100λ	представ-

лены на рис. 10.6, где ε = ∆ d . Из этих опытов, проведенных в широком диапазоне значений числа Рейнольдса, следует, что существует 5 областей для коэффициента гидравлического сопротивления.

Рис. 10.6

В первой области (прямая I) при Re<2300 режим течения ламинар- ный и λ зависит от Re, но не зависит от ε .

Во второй области имеет место переходный режим от ламинарного к турбулентному. Коэффициент λ возрастает и зависит только от Re.

Третья область (прямая II) – так называемая область гидравлически гладких труб. Трубы с различной шероховатостью ведут себя как гладкие, то есть λ зависит только от Re. При этом границы области зависят от ε . Чем больше ε , тем уже эта область. При достаточно больших ε третья об- ласть исчезает.

Четвертая область – область смешанного трения. Коэффициент λ за- висит как от Re, так и от ε .

Пятая область – область квадратичного трения. Коэффициент λ зави- сит только отε .

В конце 40-х годов XX века в Москве Г.А.Муриным были проведены опыты, аналогичные опытам Никурадзе. Однако их существенным отличи- ем было использование стальных труб не с искусственной, а с естествен- ной шероховатостью, определяемой технологией их изготовления и рядом других факторов.

Результаты опытов Г.А.Мурина представлены на рис. 10.7. Из этих опытов следует, что для труб с естественной шероховатостью также име- ется 5 областей изменения коэффициента гидравлического сопротивления. Однако, в отличие от труб с искусственной шероховатостью, коэффициент гидравлического сопротивления λ в турбулентной области с ростом числа Рейнольдса монотонно убывает.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

202

ГЛАВА X

Рис. 10.7

Для определения коэффициента гидравлического сопротивления λ в круглых трубах существует большое число эмпирических и полуэмпири- ческих формул. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Ламинарный режим течения:

λ = 64 , Re < 2300 .

Re

Формула получена теоретически и подтверждена экспериментально. Турбулентный режим течения, область гидравлически гладких труб:

λ =	1		,	Re <	105 , формула Блазиуса;
	4 100 Re
λ	=		1		, формула Конакова.
		(1,8 lg Re−		1,5) 2

Обе формулы получены при обработке результатов экспериментов. Фор- мула Конакова не имеет ограничений по числу Рейнольдса.

Область смешанного трения:

λ =		∆	+	68 0,25			d	< Re < 500	d	, формула Альтшуля.
	0,11					, 10
							∆		∆
	d			Re

Формула Альтшуля получена путем видоизменения эмпирической форму- лы Колбрука.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

203

Область квадратичного трения:

		∆			0,25			d
	λ =	0,11			, Re > 500				,	формула Шифринсона.
								∆
		d				∆
	Заметим, что при малых						формула Альтшуля переходит в формулу
						d

Блазиуса, а при больших Re – в формулу Шифринсона.

При выполнении вычислений на ЭВМ удобно использовать формулу Черчилля, справедливую во всем диапазоне чисел Рейнольдса, включая ла- минарный режим течения:

																	1
							8			12			1				12
				=
		λ							+
					8													,
															3
						Re					(A +			B) 2
								1						16						37530		16
A =																		B =
	2,457 ln													,							.
						0,9
		(7 Re)						+ 0,27(∆				)								Re
												d

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XI

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

§1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости представляет собой одно из основных соотношений, используемых для гидравлического рас- чета трубопроводов. Для его вывода введем следующие предположения:

а) движение установившееся;

б) жидкость несжимаемая, ρ = сonst ;

в) из массовых сил действует только сила тяжести,

F = g .

В этих предположениях закон изменения кинетической энергии (2.82)

имеет вид

v

2

i

∫ ρ

vndS = ∫ ρ gv dV + ∫ pnv dS +

∫ ρ N( ) dV ,

(11.1)

2

S

V

S

V

где для несжимаемой жидкости в соответствии с формулой (4.50)

ρ N(i)

= − 2µε

ikε ik .

(11.2)

=

0 и

Так как движение установившееся, то div ρ v

ρ gv =

−

ρ gvz − gz div ρ v =

−

div ρ gzv .

Тогда на основании теоремы Гаусса–Остроградского получаем

− ∫ ρ gzvndS .

∫ ρ gv dV

= − ∫ div ρ gzv dV =

(11.3)

V

V

S

Далее, для несжимаемой жидкости в соответствии с формулами (1.31),

(4.21), (4.28) имеем

ek (− pδ

ik + τ ik ) α ni

= −

pn +

ekτ ikα ni ,

pn

=

ek pikα ni =

τ ik

= 2µε

ik ,

и

∫ pvndS +

∫ 2µ vkε ikα nidS.

∫ pnv dS = −

∫ pnv dS +

∫ ekvτ ikα ni dS = −

(11.4)

S

S

S

S

S

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts